Theorem fntp 4956

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fntp.1	|- A e. _V
fntp.2	|- B e. _V
fntp.3	|- C e. _V
fntp.4	|- D e. _V
fntp.5	|- E e. _V
fntp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fntp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Proof of Theorem fntp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fntp.1	. . 3 |- A e. _V
2		fntp.2	. . 3 |- B e. _V
3		fntp.3	. . 3 |- C e. _V
4		fntp.4	. . 3 |- D e. _V
5		fntp.5	. . 3 |- E e. _V
6		fntp.6	. . 3 |- F e. _V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 4952	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )
8	4, 5, 6	dmtpop 4796	. . 3 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C }
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } )
10		df-fn 4905	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } <-> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } /\ dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } ) )
11	7, 9, 10	sylanbrc 394	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   _Vcvv 2557   {ctp 3377   <.cop 3378   dom cdm 4345   Fun wfun 4896   Fn wfn 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904  df-fn 4905

This theorem is referenced by: (None)