Theorem fntpg 4898

Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fntpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍})

Proof of Theorem fntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtpg 4893	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
2		dmsnopg 4735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ 𝐹 → dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋})
3	2	3ad2ant1 924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋})
4		dmsnopg 4735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ 𝐺 → dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌})
5	4	3ad2ant2 925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌})
6	3, 5	jca 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌}))
7	6	3ad2ant2 925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌}))
8		uneq12 3086	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌}) → (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌}))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌}))
10		df-pr 3374	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
11	9, 10	syl6eqr 2087	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
12		df-pr 3374	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩})
13	12	dmeqi 4479	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩})
14	13	eqeq1i 2044	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
15		dmun 4485	. . . . . . 7 ⊢ dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩}) = (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩})
16	15	eqeq1i 2044	. . . . . 6 ⊢ (dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
17	14, 16	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
18	11, 17	sylibr 137	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌})
19		dmsnopg 4735	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
20	19	3ad2ant3 926	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
21	20	3ad2ant2 925	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
22	18, 21	uneq12d 3092	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
23		df-tp 3375	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
24	23	dmeqi 4479	. . . 4 ⊢ dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = dom ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
25		dmun 4485	. . . 4 ⊢ dom ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩})
26	24, 25	eqtri 2057	. . 3 ⊢ dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩})
27		df-tp 3375	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
28	22, 26, 27	3eqtr4g 2094	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
29		df-fn 4848	. 2 ⊢ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ (Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍}))
30	1, 28, 29	sylanbrc 394	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201   ∪ cun 2909  {csn 3367  {cpr 3368  {ctp 3369  ⟨cop 3370  dom cdm 4288  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847  df-fn 4848

This theorem is referenced by: (None)