Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg GIF version

Theorem fntpg 4898
 Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍})

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 4893 . 2 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
2 dmsnopg 4735 . . . . . . . . . 10 (A 𝐹 → dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋})
323ad2ant1 924 . . . . . . . . 9 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋})
4 dmsnopg 4735 . . . . . . . . . 10 (B 𝐺 → dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌})
543ad2ant2 925 . . . . . . . . 9 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌})
63, 5jca 290 . . . . . . . 8 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → (dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋} dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌}))
763ad2ant2 925 . . . . . . 7 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋} dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌}))
8 uneq12 3086 . . . . . . 7 ((dom {⟨𝑋, A⟩} = {𝑋} dom {⟨𝑌, B⟩} = {𝑌}) → (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌}))
97, 8syl 14 . . . . . 6 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌}))
10 df-pr 3374 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
119, 10syl6eqr 2087 . . . . 5 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
12 df-pr 3374 . . . . . . . 8 {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩})
1312dmeqi 4479 . . . . . . 7 dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩})
1413eqeq1i 2044 . . . . . 6 (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
15 dmun 4485 . . . . . . 7 dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩}) = (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩})
1615eqeq1i 2044 . . . . . 6 (dom ({⟨𝑋, A⟩} ∪ {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
1714, 16bitri 173 . . . . 5 (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, A⟩} ∪ dom {⟨𝑌, B⟩}) = {𝑋, 𝑌})
1811, 17sylibr 137 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌})
19 dmsnopg 4735 . . . . . 6 (𝐶 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
20193ad2ant3 926 . . . . 5 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
21203ad2ant2 925 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
2218, 21uneq12d 3092 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
23 df-tp 3375 . . . . 5 {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
2423dmeqi 4479 . . . 4 dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = dom ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
25 dmun 4485 . . . 4 dom ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩})
2624, 25eqtri 2057 . . 3 dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩})
27 df-tp 3375 . . 3 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
2822, 26, 273eqtr4g 2094 . 2 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
29 df-fn 4848 . 2 ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ (Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍}))
301, 28, 29sylanbrc 394 1 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201   ∪ cun 2909  {csn 3367  {cpr 3368  {ctp 3369  ⟨cop 3370  dom cdm 4288  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847  df-fn 4848 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator