Theorem rnsnopg 4799

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnopg	|- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Proof of Theorem rnsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4356	. . 3 |- ran { <. A , B >. } = dom `' { <. A , B >. }
2		dfdm4 4527	. . . 4 |- dom { <. B , A >. } = ran `' { <. B , A >. }
3		df-rn 4356	. . . 4 |- ran `' { <. B , A >. } = dom `' `' { <. B , A >. }
4		cnvcnvsn 4797	. . . . 5 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
5	4	dmeqi 4536	. . . 4 |- dom `' `' { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
6	2, 3, 5	3eqtri 2064	. . 3 |- dom { <. B , A >. } = dom `' { <. A , B >. }
7	1, 6	eqtr4i 2063	. 2 |- ran { <. A , B >. } = dom { <. B , A >. }
8		dmsnopg 4792	. 2 |- ( A e. V -> dom { <. B , A >. } = { B } )
9	7, 8	syl5eq 2084	1 |- ( A e. V -> ran { <. A , B >. } = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   {csn 3375   <.cop 3378   `'ccnv 4344   dom cdm 4345   ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356

This theorem is referenced by:  rnpropg  4800  rnsnop  4801  fprg  5346