ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rnpropg Structured version   Unicode version

Theorem rnpropg 4743
Description: The range of a pair of ordered pairs is the pair of second members. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
rnpropg  V  W  ran  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { C ,  D }

Proof of Theorem rnpropg
StepHypRef Expression
1 df-pr 3374 . . 3  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
21rneqi 4505 . 2  ran  { <. ,  C >. , 
<. ,  D >. }  ran  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
3 rnsnopg 4742 . . . . 5  V  ran  {
<. ,  C >. }  { C }
43adantr 261 . . . 4  V  W  ran  { <. ,  C >. }  { C }
5 rnsnopg 4742 . . . . 5  W  ran  {
<. ,  D >. }  { D }
65adantl 262 . . . 4  V  W  ran  { <. ,  D >. }  { D }
74, 6uneq12d 3092 . . 3  V  W  ran  { <. ,  C >. }  u.  ran  { <. ,  D >. }  { C }  u.  { D }
8 rnun 4675 . . 3  ran  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }  ran  { <. ,  C >. }  u.  ran  { <. ,  D >. }
9 df-pr 3374 . . 3  { C ,  D }  { C }  u.  { D }
107, 8, 93eqtr4g 2094 . 2  V  W  ran  { <. ,  C >. }  u.  {
<. ,  D >. }  { C ,  D }
112, 10syl5eq 2081 1  V  W  ran  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { C ,  D }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   ran crn 4289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator