ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpdom2 Structured version   Unicode version

Theorem xpdom2 6241
Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xpdom.2  C 
_V
Assertion
Ref Expression
xpdom2  ~<_  C  X.  ~<_  C  X.

Proof of Theorem xpdom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6166 . 2  ~<_  : -1-1->
2 f1f 5035 . . . . . . . 8  : -1-1->  : -->
3 ffvelrn 5243 . . . . . . . . 9  : -->  U.
ran  { }  `  U. ran  { }
43ex 108 . . . . . . . 8  : -->  U. ran  { }  `  U. ran  { }
52, 4syl 14 . . . . . . 7  : -1-1->  U. ran  { }  `  U. ran  { }
65anim2d 320 . . . . . 6  : -1-1->  U. dom  { }  C  U. ran  { }  U. dom  { }  C  `  U. ran  { }
76adantld 263 . . . . 5  : -1-1->  <. U.
dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  C  U. ran  { }  U. dom  { }  C  `  U. ran  { }
8 elxp4 4751 . . . . 5  C  X.  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  C  U. ran  { }
9 opelxp 4317 . . . . 5  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  C  X.  U. dom  { }  C  `  U. ran  { }
107, 8, 93imtr4g 194 . . . 4  : -1-1->  C  X.  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  C  X.
1110adantl 262 . . 3  ~<_  : -1-1->  C  X.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  C  X.
12 elxp2 4306 . . . . . 6  C  X.  C  <. ,  >.
13 elxp2 4306 . . . . . 6  C  X.  C  <. ,  >.
14 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
_V
15 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
_V
16 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
_V
1715, 16fvex 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  `

_V
1814, 17opth 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  `  >.  <. ,  `  >.  `  `
19 f1fveq 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  : -1-1->  `  `
2019ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  : -1-1->  `  `
2120anbi2d 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  : -1-1->  `  `
2218, 21syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  : -1-1->  <. ,  `  >.  <. ,  `  >.
2322ex 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  : -1-1->  <. ,  ` 
>.  <. ,  `  >.
2423ad2ant2l 477 . . . . . . . . . . . . . 14  C  C  : -1-1->  <. ,  ` 
>.  <. ,  `  >.
2524imp 115 . . . . . . . . . . . . 13  C  C  : -1-1->  <. ,  `  >.  <. ,  `  >.
2625adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12  C  C 
<. ,  >.  <. ,  >.  : -1-1->  <. ,  ` 
>.  <. ,  `  >.
27 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  { }  { <. ,  >. }
2827dmeqd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  dom  { }  dom  { <. ,  >. }
2928unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  U. dom  { }  U. dom  { <. ,  >. }
3014, 16op1sta 4745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  U. dom  {
<. ,  >. }
3129, 30syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  U. dom  { }
3227rneqd 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  ran  { }  ran  { <. ,  >. }
3332unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  U. ran  { }  U. ran  { <. ,  >. }
3414, 16op2nda 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  U. ran  {
<. ,  >. }
3533, 34syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  U. ran  { }
3635fveq2d 5125 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  `  U. ran  { }  `
3731, 36opeq12d 3548 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. ,  `  >.
38 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  { }  { <. ,  >. }
3938dmeqd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  dom  { }  dom  { <. ,  >. }
4039unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  U. dom  { }  U. dom  { <. ,  >. }
41 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
_V
42 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
_V
4341, 42op1sta 4745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  U. dom  {
<. ,  >. }
4440, 43syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  U. dom  { }
4538rneqd 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  ran  { }  ran  { <. ,  >. }
4645unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  U. ran  { }  U. ran  { <. ,  >. }
4741, 42op2nda 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  U. ran  {
<. ,  >. }
4846, 47syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  U. ran  { }
4948fveq2d 5125 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  `  U. ran  { }  `
5044, 49opeq12d 3548 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. U. dom  { } ,  `
 U. ran  { } >.  <. ,  `  >.
5137, 50eqeqan12d 2052 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. ,  >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >. 
<. U. dom  { } ,  `
 U. ran  { } >.  <. ,  `  >.  <. ,  `  >.
5251ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . 12  C  C 
<. ,  >.  <. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. ,  `  >.  <. ,  `  >.
53 eqeq12 2049 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
5414, 16opth 3965 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.
5553, 54syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. ,  >.
5655ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . 12  C  C 
<. ,  >.  <. ,  >.  : -1-1->
5726, 52, 563bitr4d 209 . . . . . . . . . . 11  C  C 
<. ,  >.  <. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
5857exp53 359 . . . . . . . . . 10  C  C  <. ,  >.  <. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
5958com23 72 . . . . . . . . 9  C  <. ,  >.  C 
<. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
6059rexlimivv 2432 . . . . . . . 8  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
6160rexlimdvv 2433 . . . . . . 7  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
6261imp 115 . . . . . 6  C  <. ,  >.  C  <. ,  >.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
6312, 13, 62syl2anb 275 . . . . 5  C  X.  C  X.  : -1-1->  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
6463com12 27 . . . 4  : -1-1->  C  X.  C  X.  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
6564adantl 262 . . 3  ~<_  : -1-1->  C  X.  C  X.  <. U. dom  { } ,  `  U. ran  { } >.  <. U.
dom  { } ,  `  U. ran  { } >.
66 xpdom.2 . . . . 5  C 
_V
67 reldom 6162 . . . . . 6  Rel  ~<_
6867brrelexi 4327 . . . . 5  ~<_  _V
69 xpexg 4395 . . . . 5  C  _V  _V  C  X.  _V
7066, 68, 69sylancr 393 . . . 4  ~<_  C  X. 
_V
7170adantr 261 . . 3  ~<_  : -1-1->  C  X. 
_V
7267brrelex2i 4328 . . . . 5  ~<_  _V
73 xpexg 4395 . . . . 5  C  _V  _V  C  X.  _V
7466, 72, 73sylancr 393 . . . 4  ~<_  C  X. 
_V
7574adantr 261 . . 3  ~<_  : -1-1->  C  X. 
_V
7611, 65, 71, 75dom3d 6190 . 2  ~<_  : -1-1->  C  X.  ~<_  C  X.
771, 76exlimddv 1775 1  ~<_  C  X.  ~<_  C  X.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   _Vcvv 2551   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   dom cdm 4288   ran crn 4289   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   ` cfv 4845    ~<_ cdom 6156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fv 4853  df-dom 6159
This theorem is referenced by:  xpdom2g  6242
  Copyright terms: Public domain W3C validator