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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elxp5 | Unicode version |
Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 4751 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 3620). (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
Ref | Expression |
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elxp5 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2560 |
. 2
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2 | elex 2560 |
. . . 4
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3 | elex 2560 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | anim12i 321 |
. . 3
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5 | opexgOLD 3956 |
. . . . 5
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6 | 5 | adantl 262 |
. . . 4
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7 | eleq1 2097 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantr 261 |
. . . 4
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9 | 6, 8 | mpbird 156 |
. . 3
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10 | 4, 9 | sylan2 270 |
. 2
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11 | elxp 4305 |
. . . 4
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12 | sneq 3378 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | rneqd 4506 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | unieqd 3582 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | vex 2554 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | vex 2554 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 15, 16 | op2nda 4748 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 14, 17 | syl6req 2086 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | pm4.71ri 372 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | anbi1i 431 |
. . . . . . . . 9
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21 | anass 381 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | bitri 173 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | exbii 1493 |
. . . . . . 7
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24 | snexgOLD 3926 |
. . . . . . . . . 10
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25 | rnexg 4540 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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27 | uniexg 4141 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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29 | opeq2 3541 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | eqeq2d 2048 |
. . . . . . . . . 10
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31 | eleq1 2097 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | anbi2d 437 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 32 | anbi12d 442 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | ceqsexgv 2667 |
. . . . . . . 8
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35 | 28, 34 | syl 14 |
. . . . . . 7
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36 | 23, 35 | syl5bb 181 |
. . . . . 6
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37 | inteq 3609 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | inteqd 3611 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | adantl 262 |
. . . . . . . . . 10
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40 | op1stbg 4176 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 15, 28, 40 | sylancr 393 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | adantr 261 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | eqtr2d 2070 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ex 108 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | pm4.71rd 374 |
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46 | 45 | anbi1d 438 |
. . . . . 6
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47 | anass 381 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | a1i 9 |
. . . . . 6
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49 | 36, 46, 48 | 3bitrd 203 |
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50 | 49 | exbidv 1703 |
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51 | 11, 50 | syl5bb 181 |
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52 | eleq1 2097 |
. . . . . . 7
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53 | 15, 52 | mpbii 136 |
. . . . . 6
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54 | 53 | adantr 261 |
. . . . 5
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55 | 54 | exlimiv 1486 |
. . . 4
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56 | 2 | ad2antrl 459 |
. . . 4
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57 | opeq1 3540 |
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58 | 57 | eqeq2d 2048 |
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59 | eleq1 2097 |
. . . . . . 7
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60 | 59 | anbi1d 438 |
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61 | 58, 60 | anbi12d 442 |
. . . . 5
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62 | 61 | ceqsexgv 2667 |
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63 | 55, 56, 62 | pm5.21nii 619 |
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64 | 51, 63 | syl6bb 185 |
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65 | 1, 10, 64 | pm5.21nii 619 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-sep 3866 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-3an 886 df-tru 1245 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ral 2305 df-rex 2306 df-v 2553 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-int 3607 df-br 3756 df-opab 3810 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-dm 4298 df-rn 4299 |
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