ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxp5 Structured version   Unicode version

Theorem elxp5 4752
Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 4751 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 3620). (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp5  X.  C  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U. ran  { }  C

Proof of Theorem elxp5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2  X.  C  _V
2 elex 2560 . . . 4  |^| |^|  |^|
|^|  _V
3 elex 2560 . . . 4  U. ran  { }  C  U. ran  { }  _V
42, 3anim12i 321 . . 3 
|^| |^|  U. ran  { }  C  |^| |^|  _V  U. ran  { }  _V
5 opexgOLD 3956 . . . . 5 
|^| |^|  _V 
U. ran  { }  _V  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >. 
_V
65adantl 262 . . . 4  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  _V  U. ran  { }  _V  <. |^|
|^| ,  U. ran  { } >. 
_V
7 eleq1 2097 . . . . 5  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  _V  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >. 
_V
87adantr 261 . . . 4  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  _V  U. ran  { }  _V  _V  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  _V
96, 8mpbird 156 . . 3  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  _V  U. ran  { }  _V  _V
104, 9sylan2 270 . 2  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U.
ran  { }  C  _V
11 elxp 4305 . . . 4  X.  C  <. ,  >.  C
12 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>.  { }  { <. , 
>. }
1312rneqd 4506 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>.  ran  { }  ran  { <. ,  >. }
1413unieqd 3582 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  U. ran  { }  U. ran  { <. , 
>. }
15 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
16 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
1715, 16op2nda 4748 . . . . . . . . . . . 12  U. ran  {
<. ,  >. }
1814, 17syl6req 2086 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  U. ran  { }
1918pm4.71ri 372 . . . . . . . . . 10  <. , 
>.  U. ran  { }  <. ,  >.
2019anbi1i 431 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  C 
U. ran  { }  <. ,  >.  C
21 anass 381 . . . . . . . . 9  U. ran  { }  <. ,  >.  C  U. ran  { }  <. ,  >.  C
2220, 21bitri 173 . . . . . . . 8  <. ,  >.  C  U. ran  { }  <. ,  >.  C
2322exbii 1493 . . . . . . 7  <. ,  >.  C  U. ran  { }  <. ,  >.  C
24 snexgOLD 3926 . . . . . . . . . 10  _V  { }  _V
25 rnexg 4540 . . . . . . . . . 10  { }  _V  ran  { }  _V
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9  _V  ran  { }  _V
27 uniexg 4141 . . . . . . . . 9  ran 
{ }  _V  U. ran  { }  _V
2826, 27syl 14 . . . . . . . 8  _V  U. ran  { }  _V
29 opeq2 3541 . . . . . . . . . . 11  U. ran  { }  <. ,  >.  <. ,  U. ran  { } >.
3029eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10  U. ran  { }  <. ,  >.  <. ,  U. ran  { } >.
31 eleq1 2097 . . . . . . . . . . 11  U. ran  { }  C  U. ran  { }  C
3231anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  U. ran  { }  C  U. ran  { }  C
3330, 32anbi12d 442 . . . . . . . . 9  U. ran  { }  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
3433ceqsexgv 2667 . . . . . . . 8  U. ran  { }  _V  U. ran  { }  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
3528, 34syl 14 . . . . . . 7  _V 
U. ran  { }  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
3623, 35syl5bb 181 . . . . . 6  _V  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
37 inteq 3609 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  U. ran  { } >.  |^|  |^| <. ,  U. ran  { } >.
3837inteqd 3611 . . . . . . . . . . 11  <. ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  |^| |^|
<. ,  U. ran  { } >.
3938adantl 262 . . . . . . . . . 10  _V  <. ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  |^| |^| <. ,  U. ran  { } >.
40 op1stbg 4176 . . . . . . . . . . . 12  _V  U.
ran  { }  _V  |^| |^| <. ,  U. ran  { } >.
4115, 28, 40sylancr 393 . . . . . . . . . . 11  _V  |^| |^|
<. ,  U. ran  { } >.
4241adantr 261 . . . . . . . . . 10  _V  <. ,  U. ran  { } >.  |^| |^| <. ,  U. ran  { } >.
4339, 42eqtr2d 2070 . . . . . . . . 9  _V  <. ,  U. ran  { } >. 
|^| |^|
4443ex 108 . . . . . . . 8  _V  <. ,  U. ran  { } >.  |^| |^|
4544pm4.71rd 374 . . . . . . 7  _V  <. ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.
4645anbi1d 438 . . . . . 6  _V  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
47 anass 381 . . . . . . 7  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
4847a1i 9 . . . . . 6  _V  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
4936, 46, 483bitrd 203 . . . . 5  _V  <. ,  >.  C  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
5049exbidv 1703 . . . 4  _V  <. ,  >.  C  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
5111, 50syl5bb 181 . . 3  _V  X.  C  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
52 eleq1 2097 . . . . . . 7  |^| |^|  _V  |^| |^|  _V
5315, 52mpbii 136 . . . . . 6  |^| |^|  |^| |^|  _V
5453adantr 261 . . . . 5  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  |^| |^|  _V
5554exlimiv 1486 . . . 4  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  |^| |^|  _V
562ad2antrl 459 . . . 4  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U.
ran  { }  C  |^| |^|  _V
57 opeq1 3540 . . . . . . 7  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >. 
<. |^| |^| ,  U. ran  { } >.
5857eqeq2d 2048 . . . . . 6  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.
59 eleq1 2097 . . . . . . 7  |^| |^|  |^| |^|
6059anbi1d 438 . . . . . 6  |^| |^|  U. ran  { }  C  |^| |^|  U. ran  { }  C
6158, 60anbi12d 442 . . . . 5  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U. ran  { }  C
6261ceqsexgv 2667 . . . 4  |^| |^|  _V  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  <. |^|
|^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U. ran  { }  C
6355, 56, 62pm5.21nii 619 . . 3  |^| |^|  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  <. |^|
|^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U. ran  { }  C
6451, 63syl6bb 185 . 2  _V  X.  C  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U. ran  { }  C
651, 10, 64pm5.21nii 619 1  X.  C  <. |^| |^| ,  U. ran  { } >.  |^| |^|  U. ran  { }  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   |^|cint 3606    X. cxp 4286   ran crn 4289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator