ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1stbg Unicode version

Theorem op1stbg 4179
Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
op1stbg  V  W  |^| |^| <. ,  >.

Proof of Theorem op1stbg
StepHypRef Expression
1 dfopg 3541 . . . . 5  V  W  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
21inteqd 3614 . . . 4  V  W  |^| <. ,  >.  |^| { { } ,  { ,  } }
3 elex 2563 . . . . . . . 8  V  _V
4 snexgOLD 3929 . . . . . . . 8  _V  { }  _V
53, 4syl 14 . . . . . . 7  V  { }  _V
65adantr 261 . . . . . 6  V  W  { }  _V
7 elex 2563 . . . . . . 7  W  _V
8 prexgOLD 3940 . . . . . . 7  _V  _V  { ,  }  _V
93, 7, 8syl2an 273 . . . . . 6  V  W  { ,  }  _V
10 intprg 3642 . . . . . 6  { }  _V  { ,  }  _V  |^| { { } ,  { ,  } }  { }  i^i  { ,  }
116, 9, 10syl2anc 391 . . . . 5  V  W  |^| { { } ,  { ,  } }  { }  i^i  { ,  }
12 snsspr1 3506 . . . . . 6  { }  C_  { ,  }
13 df-ss 2928 . . . . . 6  { }  C_  { ,  }  { }  i^i  { ,  }  { }
1412, 13mpbi 133 . . . . 5  { }  i^i  { ,  }  { }
1511, 14syl6eq 2088 . . . 4  V  W  |^| { { } ,  { ,  } }  { }
162, 15eqtrd 2072 . . 3  V  W  |^| <. ,  >.  { }
1716inteqd 3614 . 2  V  W  |^| |^| <. ,  >.  |^| { }
18 intsng 3643 . . 3  V  |^| { }
1918adantr 261 . 2  V  W  |^| { }
2017, 19eqtrd 2072 1  V  W  |^| |^| <. ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1243   wcel 1393   _Vcvv 2554    i^i cin 2913    C_ wss 2914   {csn 3370   {cpr 3371   <.cop 3373   |^|cint 3609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-pow 3921  ax-pr 3938
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-int 3610
This theorem is referenced by:  elxp5  4755  fundmen  6226
  Copyright terms: Public domain W3C validator