ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1stbg Structured version   Unicode version

Theorem op1stbg 4176
Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
op1stbg  V  W  |^| |^| <. ,  >.

Proof of Theorem op1stbg
StepHypRef Expression
1 dfopg 3538 . . . . 5  V  W  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
21inteqd 3611 . . . 4  V  W  |^| <. ,  >.  |^| { { } ,  { ,  } }
3 elex 2560 . . . . . . . 8  V  _V
4 snexgOLD 3926 . . . . . . . 8  _V  { }  _V
53, 4syl 14 . . . . . . 7  V  { }  _V
65adantr 261 . . . . . 6  V  W  { }  _V
7 elex 2560 . . . . . . 7  W  _V
8 prexgOLD 3937 . . . . . . 7  _V  _V  { ,  }  _V
93, 7, 8syl2an 273 . . . . . 6  V  W  { ,  }  _V
10 intprg 3639 . . . . . 6  { }  _V  { ,  }  _V  |^| { { } ,  { ,  } }  { }  i^i  { ,  }
116, 9, 10syl2anc 391 . . . . 5  V  W  |^| { { } ,  { ,  } }  { }  i^i  { ,  }
12 snsspr1 3503 . . . . . 6  { }  C_  { ,  }
13 df-ss 2925 . . . . . 6  { }  C_  { ,  }  { }  i^i  { ,  }  { }
1412, 13mpbi 133 . . . . 5  { }  i^i  { ,  }  { }
1511, 14syl6eq 2085 . . . 4  V  W  |^| { { } ,  { ,  } }  { }
162, 15eqtrd 2069 . . 3  V  W  |^| <. ,  >.  { }
1716inteqd 3611 . 2  V  W  |^| |^| <. ,  >.  |^| { }
18 intsng 3640 . . 3  V  |^| { }
1918adantr 261 . 2  V  W  |^| { }
2017, 19eqtrd 2069 1  V  W  |^| |^| <. ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    i^i cin 2910    C_ wss 2911   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   |^|cint 3606
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-int 3607
This theorem is referenced by:  elxp5  4752  fundmen  6222
  Copyright terms: Public domain W3C validator