Theorem op1stbg 4210

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
op1stbg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = A )

Proof of Theorem op1stbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3547	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2	1	inteqd 3620	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } } )
3		elex 2566	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> A e. _V )
4		snexgOLD 3935	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
6	5	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A } e. _V )
7		elex 2566	. . . . . . 7 |- ( B e. W -> B e. _V )
8		prexgOLD 3946	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
9	3, 7, 8	syl2an 273	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
10		intprg 3648	. . . . . 6 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } ) )
12		snsspr1 3512	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
13		df-ss 2931	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
14	12, 13	mpbi 133	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
15	11, 14	syl6eq 2088	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { { A } , { A , B } } = { A } )
16	2, 15	eqtrd 2072	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| <. A , B >. = { A } )
17	16	inteqd 3620	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = |^| { A } )
18		intsng 3649	. . 3 |- ( A e. V -> |^| { A } = A )
19	18	adantr 261	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { A } = A )
20	17, 19	eqtrd 2072	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   i^i cin 2916   C_ wss 2917   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378   |^|cint 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-int 3616

This theorem is referenced by:  elxp5  4809  fundmen  6286