ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltleletr Structured version   GIF version

Theorem ltleletr 6702
Description: Transitive law, weaker form of (A < B B𝐶) → A < 𝐶. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltleletr ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < B B𝐶) → A𝐶))

Proof of Theorem ltleletr
StepHypRef Expression
1 lttr 6694 . . . . . 6 ((𝐶 A B ℝ) → ((𝐶 < A A < B) → 𝐶 < B))
213coml 1095 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶 < A A < B) → 𝐶 < B))
32expcomd 1306 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 < A𝐶 < B)))
4 con3 558 . . . 4 ((𝐶 < A𝐶 < B) → (¬ 𝐶 < B → ¬ 𝐶 < A))
53, 4syl6 29 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (¬ 𝐶 < B → ¬ 𝐶 < A)))
6 lenlt 6696 . . . . 5 ((B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
763adant1 908 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
8 lenlt 6696 . . . . 5 ((A 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
983adant2 909 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
107, 9imbi12d 223 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((B𝐶A𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < B → ¬ 𝐶 < A)))
115, 10sylibrd 158 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (B𝐶A𝐶)))
1211impd 242 1 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < B B𝐶) → A𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871   wcel 1370   class class class wbr 3734  cr 6523   < clt 6662  cle 6663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-cnex 6581  ax-resscn 6582  ax-pre-lttrn 6604
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-nel 2185  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-xp 4274  df-cnv 4276  df-pnf 6664  df-mnf 6665  df-xr 6666  df-ltxr 6667  df-le 6668
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator