ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltleletr Structured version   GIF version

Theorem ltleletr 6877
Description: Transitive law, weaker form of (A < B B𝐶) → A < 𝐶. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltleletr ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < B B𝐶) → A𝐶))

Proof of Theorem ltleletr
StepHypRef Expression
1 lttr 6869 . . . . . 6 ((𝐶 A B ℝ) → ((𝐶 < A A < B) → 𝐶 < B))
213coml 1110 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶 < A A < B) → 𝐶 < B))
32expcomd 1327 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 < A𝐶 < B)))
4 con3 570 . . . 4 ((𝐶 < A𝐶 < B) → (¬ 𝐶 < B → ¬ 𝐶 < A))
53, 4syl6 29 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (¬ 𝐶 < B → ¬ 𝐶 < A)))
6 lenlt 6871 . . . . 5 ((B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
763adant1 921 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
8 lenlt 6871 . . . . 5 ((A 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
983adant2 922 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
107, 9imbi12d 223 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((B𝐶A𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < B → ¬ 𝐶 < A)))
115, 10sylibrd 158 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (B𝐶A𝐶)))
1211impd 242 1 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < B B𝐶) → A𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6690   < clt 6837  cle 6838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-pre-lttrn 6777
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  7998  lbzbi  8307
  Copyright terms: Public domain W3C validator