ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbzbi Structured version   GIF version

Theorem lbzbi 8307
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi (A ⊆ ℝ → (x y A xyx y A xy))
Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1418 . . 3 x A ⊆ ℝ
2 nfre1 2359 . . 3 xx y A xy
3 btwnz 8113 . . . . . . 7 (x ℝ → (z z < x z x < z))
43simpld 105 . . . . . 6 (x ℝ → z z < x)
5 ssel2 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((A ⊆ ℝ y A) → y ℝ)
6 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (z ℤ → z ℝ)
7 ltleletr 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((z x y ℝ) → ((z < x xy) → zy))
86, 7syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((z x y ℝ) → ((z < x xy) → zy))
98expd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((z x y ℝ) → (z < x → (xyzy)))
1093expia 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((z x ℝ) → (y ℝ → (z < x → (xyzy))))
115, 10syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((z x ℝ) → ((A ⊆ ℝ y A) → (z < x → (xyzy))))
1211expdimp 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((z x ℝ) A ⊆ ℝ) → (y A → (z < x → (xyzy))))
1312com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((z x ℝ) A ⊆ ℝ) → (z < x → (y A → (xyzy))))
1413imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((z x ℝ) A ⊆ ℝ) z < x) → (y A → (xyzy)))
1514ralrimiv 2385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((z x ℝ) A ⊆ ℝ) z < x) → y A (xyzy))
16 ralim 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (y A (xyzy) → (y A xyy A zy))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((z x ℝ) A ⊆ ℝ) z < x) → (y A xyy A zy))
1817ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((z x ℝ) A ⊆ ℝ) → (z < x → (y A xyy A zy)))
1918anasss 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((z (x A ⊆ ℝ)) → (z < x → (y A xyy A zy)))
2019expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((x A ⊆ ℝ) → (z ℤ → (z < x → (y A xyy A zy))))
2120com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x A ⊆ ℝ) → (z < x → (z ℤ → (y A xyy A zy))))
2221imp 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x A ⊆ ℝ) z < x) → (z ℤ → (y A xyy A zy)))
2322imdistand 421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x A ⊆ ℝ) z < x) → ((z y A xy) → (z y A zy)))
24 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x = z → (xyzy))
2524ralbidv 2320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = z → (y A xyy A zy))
2625rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z y A zy) → x y A xy)
2723, 26syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13 (((x A ⊆ ℝ) z < x) → ((z y A xy) → x y A xy))
2827ex 108 . . . . . . . . . . . 12 ((x A ⊆ ℝ) → (z < x → ((z y A xy) → x y A xy)))
2928com23 72 . . . . . . . . . . 11 ((x A ⊆ ℝ) → ((z y A xy) → (z < xx y A xy)))
3029ancomsd 256 . . . . . . . . . 10 ((x A ⊆ ℝ) → ((y A xy z ℤ) → (z < xx y A xy)))
3130expdimp 246 . . . . . . . . 9 (((x A ⊆ ℝ) y A xy) → (z ℤ → (z < xx y A xy)))
3231rexlimdv 2426 . . . . . . . 8 (((x A ⊆ ℝ) y A xy) → (z z < xx y A xy))
3332anasss 379 . . . . . . 7 ((x (A ⊆ ℝ y A xy)) → (z z < xx y A xy))
3433expcom 109 . . . . . 6 ((A ⊆ ℝ y A xy) → (x ℝ → (z z < xx y A xy)))
354, 34mpdi 38 . . . . 5 ((A ⊆ ℝ y A xy) → (x ℝ → x y A xy))
3635ex 108 . . . 4 (A ⊆ ℝ → (y A xy → (x ℝ → x y A xy)))
3736com23 72 . . 3 (A ⊆ ℝ → (x ℝ → (y A xyx y A xy)))
381, 2, 37rexlimd 2424 . 2 (A ⊆ ℝ → (x y A xyx y A xy))
39 zssre 8008 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
40 ssrexv 2999 . . 3 (ℤ ⊆ ℝ → (x y A xyx y A xy))
4139, 40ax-mp 7 . 2 (x y A xyx y A xy)
4238, 41impbid1 130 1 (A ⊆ ℝ → (x y A xyx y A xy))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911   class class class wbr 3755  cr 6690   < clt 6837  cle 6838  cz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779  ax-arch 6782
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-z 8002
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator