Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iinerm GIF version

Theorem iinerm 6178
 Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinerm ((∃𝑦 𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinerm
Dummy variables 𝑢 𝑎 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2100 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴𝑎𝐴))
21cbvexv 1795 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎𝐴)
3 eleq1 2100 . . . 4 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝐴𝑦𝐴))
43cbvexv 1795 . . 3 (∃𝑎 𝑎𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
52, 4bitri 173 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
6 r19.2m 3309 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
7 errel 6115 . . . . . . 7 (𝑅 Er 𝐵 → Rel 𝑅)
8 df-rel 4352 . . . . . . 7 (Rel 𝑅𝑅 ⊆ (V × V))
97, 8sylib 127 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (V × V))
109reximi 2416 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
11 iinss 3708 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (V × V) → 𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
126, 10, 113syl 17 . . . 4 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
13 df-rel 4352 . . . 4 (Rel 𝑥𝐴 𝑅 𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
1412, 13sylibr 137 . . 3 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → Rel 𝑥𝐴 𝑅)
15 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Er 𝐵𝑅 Er 𝐵)
1615ersymb 6120 . . . . . . . . 9 (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣𝑣𝑅𝑢))
1716biimpd 132 . . . . . . . 8 (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣𝑣𝑅𝑢))
18 df-br 3765 . . . . . . . 8 (𝑢𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
19 df-br 3765 . . . . . . . 8 (𝑣𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
2017, 18, 193imtr3g 193 . . . . . . 7 (𝑅 Er 𝐵 → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
2120ral2imi 2385 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
2221adantl 262 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
23 df-br 3765 . . . . . 6 (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅)
24 vex 2560 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
25 vex 2560 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
2624, 25opex 3966 . . . . . . 7 𝑢, 𝑣⟩ ∈ V
27 eliin 3662 . . . . . . 7 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅))
2826, 27ax-mp 7 . . . . . 6 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
2923, 28bitri 173 . . . . 5 (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
30 df-br 3765 . . . . . 6 (𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅)
3125, 24opex 3966 . . . . . . 7 𝑣, 𝑢⟩ ∈ V
32 eliin 3662 . . . . . . 7 (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6 (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
3430, 33bitri 173 . . . . 5 (𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
3522, 29, 343imtr4g 194 . . . 4 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑢))
3635imp 115 . . 3 (((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ 𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣) → 𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑢)
37 r19.26 2441 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
3815ertr 6121 . . . . . . . . 9 (𝑅 Er 𝐵 → ((𝑢𝑅𝑣𝑣𝑅𝑤) → 𝑢𝑅𝑤))
39 df-br 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
4018, 39anbi12i 433 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑅𝑣𝑣𝑅𝑤) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
41 df-br 3765 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
4238, 40, 413imtr3g 193 . . . . . . . 8 (𝑅 Er 𝐵 → ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
4342ral2imi 2385 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
4443adantl 262 . . . . . 6 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
4537, 44syl5bir 142 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
46 df-br 3765 . . . . . . 7 (𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅)
47 vex 2560 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
4825, 47opex 3966 . . . . . . . 8 𝑣, 𝑤⟩ ∈ V
49 eliin 3662 . . . . . . . 8 (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . 7 (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
5146, 50bitri 173 . . . . . 6 (𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
5229, 51anbi12i 433 . . . . 5 ((𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑤) ↔ (∀𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
53 df-br 3765 . . . . . 6 (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅)
5424, 47opex 3966 . . . . . . 7 𝑢, 𝑤⟩ ∈ V
55 eliin 3662 . . . . . . 7 (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
5654, 55ax-mp 7 . . . . . 6 (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
5753, 56bitri 173 . . . . 5 (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
5845, 52, 573imtr4g 194 . . . 4 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑤) → 𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑤))
5958imp 115 . . 3 (((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑣𝑣 𝑥𝐴 𝑅𝑤)) → 𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑤)
60 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Er 𝐵𝑢𝐵) → 𝑅 Er 𝐵)
61 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Er 𝐵𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
6260, 61erref 6126 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Er 𝐵𝑢𝐵) → 𝑢𝑅𝑢)
63 df-br 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
6462, 63sylib 127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Er 𝐵𝑢𝐵) → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
6564expcom 109 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵 → (𝑅 Er 𝐵 → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
6665ralimdv 2388 . . . . . . 7 (𝑢𝐵 → (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
6766com12 27 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
6867adantl 262 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
69 r19.26 2441 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
70 r19.2m 3309 . . . . . . . . 9 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → ∃𝑥𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
7124, 24opeldm 4538 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅𝑢 ∈ dom 𝑅)
72 erdm 6116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 Er 𝐵 → dom 𝑅 = 𝐵)
7372eleq2d 2107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ dom 𝑅𝑢𝐵))
7473biimpa 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Er 𝐵𝑢 ∈ dom 𝑅) → 𝑢𝐵)
7571, 74sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢𝐵)
7675rexlimivw 2429 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢𝐵)
7770, 76syl 14 . . . . . . . 8 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → 𝑢𝐵)
7877ex 108 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢𝐵))
7969, 78syl5bir 142 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢𝐵))
8079expdimp 246 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅𝑢𝐵))
8168, 80impbid 120 . . . 4 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
82 df-br 3765 . . . . 5 (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅)
8324, 24opex 3966 . . . . . 6 𝑢, 𝑢⟩ ∈ V
84 eliin 3662 . . . . . 6 (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
8583, 84ax-mp 7 . . . . 5 (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
8682, 85bitri 173 . . . 4 (𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥𝐴𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
8781, 86syl6bbr 187 . . 3 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢𝐵𝑢 𝑥𝐴 𝑅𝑢))
8814, 36, 59, 87iserd 6132 . 2 ((∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
895, 88sylanbr 269 1 ((∃𝑦 𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917  ⟨cop 3378  ∩ ciin 3658   class class class wbr 3764   × cxp 4343  dom cdm 4345  Rel wrel 4350   Er wer 6103 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iin 3660  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-er 6106 This theorem is referenced by:  riinerm  6179
 Copyright terms: Public domain W3C validator