Theorem iinerm 6114

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinerm	|- ((E.y y e. A /\ A.x e. A R Er B) -> |^|_x e. A R Er B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   y,A

Allowed substitution hints:   B(y)   R(x,y)

Proof of Theorem iinerm

Dummy variables u a v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2097	. . . 4 |- (x = a -> (x e. A <-> a e. A))
2	1	cbvexv 1792	. . 3 |- (E.x x e. A <-> E. a a e. A)
3		eleq1 2097	. . . 4 |- ( a = y -> ( a e. A <-> y e. A))
4	3	cbvexv 1792	. . 3 |- (E. a a e. A <-> E.y y e. A)
5	2, 4	bitri 173	. 2 |- (E.x x e. A <-> E.y y e. A)
6		r19.2m 3303	. . . . 5 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> E.x e. A R Er B)
7		errel 6051	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> Rel R)
8		df-rel 4295	. . . . . . 7 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V))
9	7, 8	sylib 127	. . . . . 6 |- ( R Er B -> R C_ ( _V X. _V))
10	9	reximi 2410	. . . . 5 |- (E.x e. A R Er B -> E.x e. A R C_ ( _V X. _V))
11		iinss 3699	. . . . 5 |- (E.x e. A R C_ ( _V X. _V) -> |^|_x e. A R C_ ( _V X. _V))
12	6, 10, 11	3syl 17	. . . 4 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> |^|_x e. A R C_ ( _V X. _V))
13		df-rel 4295	. . . 4 |- ( Rel |^|_x e. A R <-> |^|_x e. A R C_ ( _V X. _V))
14	12, 13	sylibr 137	. . 3 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> Rel |^|_x e. A R)
15		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( R Er B -> R Er B)
16	15	ersymb 6056	. . . . . . . . 9 |- ( R Er B -> (u Rv <-> v Ru))
17	16	biimpd 132	. . . . . . . 8 |- ( R Er B -> (u Rv -> v Ru))
18		df-br 3756	. . . . . . . 8 |- (u Rv <-> <.u , v >. e. R)
19		df-br 3756	. . . . . . . 8 |- (v Ru <-> <.v , u >. e. R)
20	17, 18, 19	3imtr3g 193	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> ( <.u , v >. e. R -> <.v , u >. e. R))
21	20	ral2imi 2379	. . . . . 6 |- (A.x e. A R Er B -> (A.x e. A <.u , v >. e. R -> A.x e. A <.v , u >. e. R))
22	21	adantl 262	. . . . 5 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (A.x e. A <.u , v >. e. R -> A.x e. A <.v , u >. e. R))
23		df-br 3756	. . . . . 6 |- (u |^|_x e. A Rv <-> <.u , v >. e. |^|_x e. A R)
24		vex 2554	. . . . . . . 8 |- u e. _V
25		vex 2554	. . . . . . . 8 |- v e. _V
26	24, 25	opex 3957	. . . . . . 7 |- <.u , v >. e. _V
27		eliin 3653	. . . . . . 7 |- ( <.u , v >. e. _V -> ( <.u , v >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.u , v >. e. R))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( <.u , v >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.u , v >. e. R)
29	23, 28	bitri 173	. . . . 5 |- (u |^|_x e. A Rv <-> A.x e. A <.u , v >. e. R)
30		df-br 3756	. . . . . 6 |- (v |^|_x e. A Ru <-> <.v , u >. e. |^|_x e. A R)
31	25, 24	opex 3957	. . . . . . 7 |- <.v , u >. e. _V
32		eliin 3653	. . . . . . 7 |- ( <.v , u >. e. _V -> ( <.v , u >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.v , u >. e. R))
33	31, 32	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( <.v , u >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.v , u >. e. R)
34	30, 33	bitri 173	. . . . 5 |- (v |^|_x e. A Ru <-> A.x e. A <.v , u >. e. R)
35	22, 29, 34	3imtr4g 194	. . . 4 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (u |^|_x e. A Rv -> v |^|_x e. A Ru))
36	35	imp 115	. . 3 |- (((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) /\ u |^|_x e. A Rv) -> v |^|_x e. A Ru)
37		r19.26 2435	. . . . . 6 |- (A.x e. A ( <.u , v >. e. R /\ <.v , w >. e. R) <-> (A.x e. A <.u , v >. e. R /\ A.x e. A <.v , w >. e. R))
38	15	ertr 6057	. . . . . . . . 9 |- ( R Er B -> ((u Rv /\ v Rw) -> u Rw))
39		df-br 3756	. . . . . . . . . 10 |- (v Rw <-> <.v , w >. e. R)
40	18, 39	anbi12i 433	. . . . . . . . 9 |- ((u Rv /\ v Rw) <-> ( <.u , v >. e. R /\ <.v , w >. e. R))
41		df-br 3756	. . . . . . . . 9 |- (u Rw <-> <.u , w >. e. R)
42	38, 40, 41	3imtr3g 193	. . . . . . . 8 |- ( R Er B -> (( <.u , v >. e. R /\ <.v , w >. e. R) -> <.u , w >. e. R))
43	42	ral2imi 2379	. . . . . . 7 |- (A.x e. A R Er B -> (A.x e. A ( <.u , v >. e. R /\ <.v , w >. e. R) -> A.x e. A <.u , w >. e. R))
44	43	adantl 262	. . . . . 6 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (A.x e. A ( <.u , v >. e. R /\ <.v , w >. e. R) -> A.x e. A <.u , w >. e. R))
45	37, 44	syl5bir 142	. . . . 5 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> ((A.x e. A <.u , v >. e. R /\ A.x e. A <.v , w >. e. R) -> A.x e. A <.u , w >. e. R))
46		df-br 3756	. . . . . . 7 |- (v |^|_x e. A Rw <-> <.v , w >. e. |^|_x e. A R)
47		vex 2554	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
48	25, 47	opex 3957	. . . . . . . 8 |- <.v , w >. e. _V
49		eliin 3653	. . . . . . . 8 |- ( <.v , w >. e. _V -> ( <.v , w >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.v , w >. e. R))
50	48, 49	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( <.v , w >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.v , w >. e. R)
51	46, 50	bitri 173	. . . . . 6 |- (v |^|_x e. A Rw <-> A.x e. A <.v , w >. e. R)
52	29, 51	anbi12i 433	. . . . 5 |- ((u |^|_x e. A Rv /\ v |^|_x e. A Rw) <-> (A.x e. A <.u , v >. e. R /\ A.x e. A <.v , w >. e. R))
53		df-br 3756	. . . . . 6 |- (u |^|_x e. A Rw <-> <.u , w >. e. |^|_x e. A R)
54	24, 47	opex 3957	. . . . . . 7 |- <.u , w >. e. _V
55		eliin 3653	. . . . . . 7 |- ( <.u , w >. e. _V -> ( <.u , w >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.u , w >. e. R))
56	54, 55	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( <.u , w >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.u , w >. e. R)
57	53, 56	bitri 173	. . . . 5 |- (u |^|_x e. A Rw <-> A.x e. A <.u , w >. e. R)
58	45, 52, 57	3imtr4g 194	. . . 4 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> ((u |^|_x e. A Rv /\ v |^|_x e. A Rw) -> u |^|_x e. A Rw))
59	58	imp 115	. . 3 |- (((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) /\ (u |^|_x e. A Rv /\ v |^|_x e. A Rw)) -> u |^|_x e. A Rw)
60		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 |- (( R Er B /\ u e. B) -> R Er B)
61		simpr 103	. . . . . . . . . . 11 |- (( R Er B /\ u e. B) -> u e. B)
62	60, 61	erref 6062	. . . . . . . . . 10 |- (( R Er B /\ u e. B) -> u Ru)
63		df-br 3756	. . . . . . . . . 10 |- (u Ru <-> <.u , u >. e. R)
64	62, 63	sylib 127	. . . . . . . . 9 |- (( R Er B /\ u e. B) -> <.u , u >. e. R)
65	64	expcom 109	. . . . . . . 8 |- (u e. B -> ( R Er B -> <.u , u >. e. R))
66	65	ralimdv 2382	. . . . . . 7 |- (u e. B -> (A.x e. A R Er B -> A.x e. A <.u , u >. e. R))
67	66	com12 27	. . . . . 6 |- (A.x e. A R Er B -> (u e. B -> A.x e. A <.u , u >. e. R))
68	67	adantl 262	. . . . 5 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (u e. B -> A.x e. A <.u , u >. e. R))
69		r19.26 2435	. . . . . . 7 |- (A.x e. A ( R Er B /\ <.u , u >. e. R) <-> (A.x e. A R Er B /\ A.x e. A <.u , u >. e. R))
70		r19.2m 3303	. . . . . . . . 9 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A ( R Er B /\ <.u , u >. e. R)) -> E.x e. A ( R Er B /\ <.u , u >. e. R))
71	24, 24	opeldm 4481	. . . . . . . . . . 11 |- ( <.u , u >. e. R -> u e. dom R)
72		erdm 6052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R Er B -> dom R = B)
73	72	eleq2d 2104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Er B -> (u e. dom R <-> u e. B))
74	73	biimpa 280	. . . . . . . . . . 11 |- (( R Er B /\ u e. dom R) -> u e. B)
75	71, 74	sylan2 270	. . . . . . . . . 10 |- (( R Er B /\ <.u , u >. e. R) -> u e. B)
76	75	rexlimivw 2423	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. A ( R Er B /\ <.u , u >. e. R) -> u e. B)
77	70, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A ( R Er B /\ <.u , u >. e. R)) -> u e. B)
78	77	ex 108	. . . . . . 7 |- (E.x x e. A -> (A.x e. A ( R Er B /\ <.u , u >. e. R) -> u e. B))
79	69, 78	syl5bir 142	. . . . . 6 |- (E.x x e. A -> ((A.x e. A R Er B /\ A.x e. A <.u , u >. e. R) -> u e. B))
80	79	expdimp 246	. . . . 5 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (A.x e. A <.u , u >. e. R -> u e. B))
81	68, 80	impbid 120	. . . 4 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (u e. B <-> A.x e. A <.u , u >. e. R))
82		df-br 3756	. . . . 5 |- (u |^|_x e. A Ru <-> <.u , u >. e. |^|_x e. A R)
83	24, 24	opex 3957	. . . . . 6 |- <.u , u >. e. _V
84		eliin 3653	. . . . . 6 |- ( <.u , u >. e. _V -> ( <.u , u >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.u , u >. e. R))
85	83, 84	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( <.u , u >. e. |^|_x e. A R <-> A.x e. A <.u , u >. e. R)
86	82, 85	bitri 173	. . . 4 |- (u |^|_x e. A Ru <-> A.x e. A <.u , u >. e. R)
87	81, 86	syl6bbr 187	. . 3 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> (u e. B <-> u |^|_x e. A Ru))
88	14, 36, 59, 87	iserd 6068	. 2 |- ((E.x x e. A /\ A.x e. A R Er B) -> |^|_x e. A R Er B)
89	5, 88	sylanbr 269	1 |- ((E.y y e. A /\ A.x e. A R Er B) -> |^|_x e. A R Er B)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98  E.wex 1378   e. wcel 1390  A.wral 2300  E.wrex 2301   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   <.cop 3370   |^|_ciin 3649   class class class wbr 3755   X. cxp 4286   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   Er wer 6039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iin 3651  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-er 6042

This theorem is referenced by:  riinerm  6115