ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iinerm Structured version   Unicode version

Theorem iinerm 6114
Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinerm  R  Er  |^|_  R  Er
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()    R(,)

Proof of Theorem iinerm
Dummy variables  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2097 . . . 4  a  a
21cbvexv 1792 . . 3  a  a
3 eleq1 2097 . . . 4  a 
a
43cbvexv 1792 . . 3  a  a
52, 4bitri 173 . 2
6 r19.2m 3303 . . . . 5  R  Er  R  Er
7 errel 6051 . . . . . . 7  R  Er  Rel  R
8 df-rel 4295 . . . . . . 7  Rel 
R  R  C_  _V  X.  _V
97, 8sylib 127 . . . . . 6  R  Er  R  C_  _V  X.  _V
109reximi 2410 . . . . 5  R  Er  R  C_  _V  X.  _V
11 iinss 3699 . . . . 5  R  C_  _V  X.  _V  |^|_  R  C_  _V  X.  _V
126, 10, 113syl 17 . . . 4  R  Er  |^|_  R  C_  _V  X.  _V
13 df-rel 4295 . . . 4  Rel  |^|_  R  |^|_  R  C_  _V  X.  _V
1412, 13sylibr 137 . . 3  R  Er  Rel  |^|_  R
15 id 19 . . . . . . . . . 10  R  Er  R  Er
1615ersymb 6056 . . . . . . . . 9  R  Er  R  R
1716biimpd 132 . . . . . . . 8  R  Er  R  R
18 df-br 3756 . . . . . . . 8  R  <. ,  >.  R
19 df-br 3756 . . . . . . . 8  R  <. ,  >.  R
2017, 18, 193imtr3g 193 . . . . . . 7  R  Er  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
2120ral2imi 2379 . . . . . 6  R  Er  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
2221adantl 262 . . . . 5  R  Er  <. , 
>.  R  <. ,  >.  R
23 df-br 3756 . . . . . 6 
|^|_  R  <. ,  >.  |^|_  R
24 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
25 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
2624, 25opex 3957 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V
27 eliin 3653 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V  <. , 
>.  |^|_  R  <. ,  >.  R
2826, 27ax-mp 7 . . . . . 6  <. ,  >.  |^|_  R  <. , 
>.  R
2923, 28bitri 173 . . . . 5 
|^|_  R  <. , 
>.  R
30 df-br 3756 . . . . . 6 
|^|_  R  <. ,  >.  |^|_  R
3125, 24opex 3957 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V
32 eliin 3653 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
3430, 33bitri 173 . . . . 5 
|^|_  R  <. ,  >.  R
3522, 29, 343imtr4g 194 . . . 4  R  Er  |^|_  R  |^|_  R
3635imp 115 . . 3  R  Er  |^|_  R  |^|_  R
37 r19.26 2435 . . . . . 6  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R  <. , 
>.  R  <. ,  >.  R
3815ertr 6057 . . . . . . . . 9  R  Er  R  R  R
39 df-br 3756 . . . . . . . . . 10  R  <. ,  >.  R
4018, 39anbi12i 433 . . . . . . . . 9  R  R  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
41 df-br 3756 . . . . . . . . 9  R  <. ,  >.  R
4238, 40, 413imtr3g 193 . . . . . . . 8  R  Er  <. , 
>.  R  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
4342ral2imi 2379 . . . . . . 7  R  Er  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
4443adantl 262 . . . . . 6  R  Er  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
4537, 44syl5bir 142 . . . . 5  R  Er  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
46 df-br 3756 . . . . . . 7 
|^|_  R  <. ,  >.  |^|_  R
47 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
4825, 47opex 3957 . . . . . . . 8  <. ,  >.  _V
49 eliin 3653 . . . . . . . 8  <. ,  >.  _V  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . 7  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
5146, 50bitri 173 . . . . . 6 
|^|_  R  <. ,  >.  R
5229, 51anbi12i 433 . . . . 5  |^|_  R  |^|_  R  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
53 df-br 3756 . . . . . 6 
|^|_  R  <. ,  >.  |^|_  R
5424, 47opex 3957 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V
55 eliin 3653 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
5654, 55ax-mp 7 . . . . . 6  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
5753, 56bitri 173 . . . . 5 
|^|_  R  <. ,  >.  R
5845, 52, 573imtr4g 194 . . . 4  R  Er 
|^|_  R  |^|_  R  |^|_  R
5958imp 115 . . 3  R  Er  |^|_  R  |^|_  R  |^|_  R
60 simpl 102 . . . . . . . . . . 11  R  Er  R  Er
61 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  R  Er
6260, 61erref 6062 . . . . . . . . . 10  R  Er  R
63 df-br 3756 . . . . . . . . . 10  R  <. ,  >.  R
6462, 63sylib 127 . . . . . . . . 9  R  Er  <. ,  >.  R
6564expcom 109 . . . . . . . 8  R  Er  <. ,  >.  R
6665ralimdv 2382 . . . . . . 7  R  Er  <. ,  >.  R
6766com12 27 . . . . . 6  R  Er  <. ,  >.  R
6867adantl 262 . . . . 5  R  Er  <. ,  >.  R
69 r19.26 2435 . . . . . . 7  R  Er  <. ,  >.  R  R  Er  <. ,  >.  R
70 r19.2m 3303 . . . . . . . . 9  R  Er  <. ,  >.  R  R  Er  <. ,  >.  R
7124, 24opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  R  dom  R
72 erdm 6052 . . . . . . . . . . . . 13  R  Er  dom  R
7372eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . 12  R  Er  dom  R
7473biimpa 280 . . . . . . . . . . 11  R  Er  dom  R
7571, 74sylan2 270 . . . . . . . . . 10  R  Er  <. ,  >.  R
7675rexlimivw 2423 . . . . . . . . 9  R  Er  <. ,  >.  R
7770, 76syl 14 . . . . . . . 8  R  Er  <. ,  >.  R
7877ex 108 . . . . . . 7  R  Er  <. ,  >.  R
7969, 78syl5bir 142 . . . . . 6  R  Er  <. ,  >.  R
8079expdimp 246 . . . . 5  R  Er  <. ,  >.  R
8168, 80impbid 120 . . . 4  R  Er  <. ,  >.  R
82 df-br 3756 . . . . 5 
|^|_  R  <. ,  >.  |^|_  R
8324, 24opex 3957 . . . . . 6  <. ,  >.  _V
84 eliin 3653 . . . . . 6  <. ,  >.  _V  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
8583, 84ax-mp 7 . . . . 5  <. ,  >.  |^|_  R  <. ,  >.  R
8682, 85bitri 173 . . . 4 
|^|_  R  <. ,  >.  R
8781, 86syl6bbr 187 . . 3  R  Er  |^|_  R
8814, 36, 59, 87iserd 6068 . 2  R  Er  |^|_  R  Er
895, 88sylanbr 269 1  R  Er  |^|_  R  Er
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370   |^|_ciin 3649   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   dom cdm 4288   Rel wrel 4293    Er wer 6039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iin 3651  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-er 6042
This theorem is referenced by:  riinerm  6115
  Copyright terms: Public domain W3C validator