Theorem riinerm 6115

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinerm	⊢ ((∃y y ∈ A ∧ ∀x ∈ A 𝑅 Er B) → ((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) Er B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   y,A

Allowed substitution hints:   B(y)   𝑅(x,y)

Proof of Theorem riinerm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinerm 6114	. 2 ⊢ ((∃y y ∈ A ∧ ∀x ∈ A 𝑅 Er B) → ∩ x ∈ A 𝑅 Er B)
2		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (x = 𝑎 → (x ∈ A ↔ 𝑎 ∈ A))
3	2	cbvexv 1792	. . . . 5 ⊢ (∃x x ∈ A ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ A)
4		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = y → (𝑎 ∈ A ↔ y ∈ A))
5	4	cbvexv 1792	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 𝑎 ∈ A ↔ ∃y y ∈ A)
6	3, 5	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃x x ∈ A ↔ ∃y y ∈ A)
7		erssxp 6065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er B → 𝑅 ⊆ (B × B))
8	7	ralimi 2378	. . . . . 6 ⊢ (∀x ∈ A 𝑅 Er B → ∀x ∈ A 𝑅 ⊆ (B × B))
9		riinm 3720	. . . . . 6 ⊢ ((∀x ∈ A 𝑅 ⊆ (B × B) ∧ ∃x x ∈ A) → ((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) = ∩ x ∈ A 𝑅)
10	8, 9	sylan 267	. . . . 5 ⊢ ((∀x ∈ A 𝑅 Er B ∧ ∃x x ∈ A) → ((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) = ∩ x ∈ A 𝑅)
11		ereq1 6049	. . . . 5 ⊢ (((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) = ∩ x ∈ A 𝑅 → (((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) Er B ↔ ∩ x ∈ A 𝑅 Er B))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((∀x ∈ A 𝑅 Er B ∧ ∃x x ∈ A) → (((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) Er B ↔ ∩ x ∈ A 𝑅 Er B))
13	6, 12	sylan2br 272	. . 3 ⊢ ((∀x ∈ A 𝑅 Er B ∧ ∃y y ∈ A) → (((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) Er B ↔ ∩ x ∈ A 𝑅 Er B))
14	13	ancoms 255	. 2 ⊢ ((∃y y ∈ A ∧ ∀x ∈ A 𝑅 Er B) → (((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) Er B ↔ ∩ x ∈ A 𝑅 Er B))
15	1, 14	mpbird 156	1 ⊢ ((∃y y ∈ A ∧ ∀x ∈ A 𝑅 Er B) → ((B × B) ∩ ∩ x ∈ A 𝑅) Er B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911  ∩ ciin 3649   × cxp 4286   Er wer 6039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iin 3651  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-er 6042

This theorem is referenced by: (None)