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Theorem foco2 5243
Description: If a composition of two functions is surjective, then the function on the left is surjective. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
foco2 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → 𝐹:Bonto𝐶)

Proof of Theorem foco2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 892 . 2 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → 𝐹:B𝐶)
2 foelrn 5242 . . . . . 6 (((𝐹𝐺):Aonto𝐶 y 𝐶) → z A y = ((𝐹𝐺)‘z))
3 ffvelrn 5225 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:AB z A) → (𝐺z) B)
43adantll 448 . . . . . . . . 9 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → (𝐺z) B)
5 fvco3 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:AB z A) → ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z)))
65adantll 448 . . . . . . . . 9 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z)))
7 fveq2 5103 . . . . . . . . . . 11 (x = (𝐺z) → (𝐹x) = (𝐹‘(𝐺z)))
87eqeq2d 2033 . . . . . . . . . 10 (x = (𝐺z) → (((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x) ↔ ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z))))
98rspcev 2633 . . . . . . . . 9 (((𝐺z) B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z))) → x B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x))
104, 6, 9syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → x B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x))
11 eqeq1 2028 . . . . . . . . 9 (y = ((𝐹𝐺)‘z) → (y = (𝐹x) ↔ ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x)))
1211rexbidv 2305 . . . . . . . 8 (y = ((𝐹𝐺)‘z) → (x B y = (𝐹x) ↔ x B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x)))
1310, 12syl5ibrcom 146 . . . . . . 7 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → (y = ((𝐹𝐺)‘z) → x B y = (𝐹x)))
1413rexlimdva 2411 . . . . . 6 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) → (z A y = ((𝐹𝐺)‘z) → x B y = (𝐹x)))
152, 14syl5 28 . . . . 5 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) → (((𝐹𝐺):Aonto𝐶 y 𝐶) → x B y = (𝐹x)))
1615impl 362 . . . 4 ((((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) (𝐹𝐺):Aonto𝐶) y 𝐶) → x B y = (𝐹x))
1716ralrimiva 2370 . . 3 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → y 𝐶 x B y = (𝐹x))
18173impa 1085 . 2 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → y 𝐶 x B y = (𝐹x))
19 dffo3 5239 . 2 (𝐹:Bonto𝐶 ↔ (𝐹:B𝐶 y 𝐶 x B y = (𝐹x)))
201, 18, 19sylanbrc 396 1 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → 𝐹:Bonto𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  ccom 4276  wf 4825  ontowfo 4827  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-fo 4835  df-fv 4837
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