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Theorem foco2 5261
Description: If a composition of two functions is surjective, then the function on the left is surjective. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
foco2 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → 𝐹:Bonto𝐶)

Proof of Theorem foco2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . 2 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → 𝐹:B𝐶)
2 foelrn 5260 . . . . . 6 (((𝐹𝐺):Aonto𝐶 y 𝐶) → z A y = ((𝐹𝐺)‘z))
3 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:AB z A) → (𝐺z) B)
43adantll 445 . . . . . . . . 9 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → (𝐺z) B)
5 fvco3 5187 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:AB z A) → ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z)))
65adantll 445 . . . . . . . . 9 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z)))
7 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11 (x = (𝐺z) → (𝐹x) = (𝐹‘(𝐺z)))
87eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10 (x = (𝐺z) → (((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x) ↔ ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z))))
98rspcev 2650 . . . . . . . . 9 (((𝐺z) B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹‘(𝐺z))) → x B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x))
104, 6, 9syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → x B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x))
11 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9 (y = ((𝐹𝐺)‘z) → (y = (𝐹x) ↔ ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x)))
1211rexbidv 2321 . . . . . . . 8 (y = ((𝐹𝐺)‘z) → (x B y = (𝐹x) ↔ x B ((𝐹𝐺)‘z) = (𝐹x)))
1310, 12syl5ibrcom 146 . . . . . . 7 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) z A) → (y = ((𝐹𝐺)‘z) → x B y = (𝐹x)))
1413rexlimdva 2427 . . . . . 6 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) → (z A y = ((𝐹𝐺)‘z) → x B y = (𝐹x)))
152, 14syl5 28 . . . . 5 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) → (((𝐹𝐺):Aonto𝐶 y 𝐶) → x B y = (𝐹x)))
1615impl 362 . . . 4 ((((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) (𝐹𝐺):Aonto𝐶) y 𝐶) → x B y = (𝐹x))
1716ralrimiva 2386 . . 3 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → y 𝐶 x B y = (𝐹x))
18173impa 1098 . 2 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → y 𝐶 x B y = (𝐹x))
19 dffo3 5257 . 2 (𝐹:Bonto𝐶 ↔ (𝐹:B𝐶 y 𝐶 x B y = (𝐹x)))
201, 18, 19sylanbrc 394 1 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB (𝐹𝐺):Aonto𝐶) → 𝐹:Bonto𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  ccom 4292  wf 4841  ontowfo 4843  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853
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