ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffo3 Structured version   GIF version

Theorem dffo3 5257
Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
dffo3 (𝐹:AontoB ↔ (𝐹:AB y B x A y = (𝐹x)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐹,y

Proof of Theorem dffo3
StepHypRef Expression
1 dffo2 5053 . 2 (𝐹:AontoB ↔ (𝐹:AB ran 𝐹 = B))
2 ffn 4989 . . . . 5 (𝐹:AB𝐹 Fn A)
3 fnrnfv 5163 . . . . . 6 (𝐹 Fn A → ran 𝐹 = {yx A y = (𝐹x)})
43eqeq1d 2045 . . . . 5 (𝐹 Fn A → (ran 𝐹 = B ↔ {yx A y = (𝐹x)} = B))
52, 4syl 14 . . . 4 (𝐹:AB → (ran 𝐹 = B ↔ {yx A y = (𝐹x)} = B))
6 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AB x A) y = (𝐹x)) → y = (𝐹x))
7 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AB x A) → (𝐹x) B)
87adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AB x A) y = (𝐹x)) → (𝐹x) B)
96, 8eqeltrd 2111 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AB x A) y = (𝐹x)) → y B)
109exp31 346 . . . . . . . . 9 (𝐹:AB → (x A → (y = (𝐹x) → y B)))
1110rexlimdv 2426 . . . . . . . 8 (𝐹:AB → (x A y = (𝐹x) → y B))
1211biantrurd 289 . . . . . . 7 (𝐹:AB → ((y Bx A y = (𝐹x)) ↔ ((x A y = (𝐹x) → y B) (y Bx A y = (𝐹x)))))
13 dfbi2 368 . . . . . . 7 ((x A y = (𝐹x) ↔ y B) ↔ ((x A y = (𝐹x) → y B) (y Bx A y = (𝐹x))))
1412, 13syl6rbbr 188 . . . . . 6 (𝐹:AB → ((x A y = (𝐹x) ↔ y B) ↔ (y Bx A y = (𝐹x))))
1514albidv 1702 . . . . 5 (𝐹:AB → (y(x A y = (𝐹x) ↔ y B) ↔ y(y Bx A y = (𝐹x))))
16 abeq1 2144 . . . . 5 ({yx A y = (𝐹x)} = By(x A y = (𝐹x) ↔ y B))
17 df-ral 2305 . . . . 5 (y B x A y = (𝐹x) ↔ y(y Bx A y = (𝐹x)))
1815, 16, 173bitr4g 212 . . . 4 (𝐹:AB → ({yx A y = (𝐹x)} = By B x A y = (𝐹x)))
195, 18bitrd 177 . . 3 (𝐹:AB → (ran 𝐹 = By B x A y = (𝐹x)))
2019pm5.32i 427 . 2 ((𝐹:AB ran 𝐹 = B) ↔ (𝐹:AB y B x A y = (𝐹x)))
211, 20bitri 173 1 (𝐹:AontoB ↔ (𝐹:AB y B x A y = (𝐹x)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  ran crn 4289   Fn wfn 4840  wf 4841  ontowfo 4843  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  dffo4  5258  foelrn  5260  foco2  5261  fcofo  5367  foov  5589  cnref1o  8317
  Copyright terms: Public domain W3C validator