Theorem pitonnlem2 6923

Description: Lemma for pitonn 6924. Two ways to add one to a number. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pitonnlem2	|- ( K e. N. -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + 1 ) = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Distinct variable group:   K, l, u

Proof of Theorem pitonnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1 6897	. . . 4 |- 1 = <. 1R , 0R >.
2	1	oveq2i 5523	. . 3 |- ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + 1 ) = ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + <. 1R , 0R >. )
3		nnprlu 6651	. . . . . . . 8 |- ( K e. N. -> <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
4		1pr 6652	. . . . . . . 8 |- 1P e. P.
5		addclpr 6635	. . . . . . . 8 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
6	3, 4, 5	sylancl 392	. . . . . . 7 |- ( K e. N. -> ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
7		opelxpi 4376	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
8	6, 4, 7	sylancl 392	. . . . . 6 |- ( K e. N. -> <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
9		enrex 6822	. . . . . . 7 |- ~R e. _V
10	9	ecelqsi 6160	. . . . . 6 |- ( <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. N. -> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
12		df-nr 6812	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
13	11, 12	syl6eleqr 2131	. . . 4 |- ( K e. N. -> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )
14		1sr 6836	. . . 4 |- 1R e. R.
15		addresr 6913	. . . 4 |- ( ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) , 0R >. )
16	13, 14, 15	sylancl 392	. . 3 |- ( K e. N. -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) , 0R >. )
17	2, 16	syl5eq 2084	. 2 |- ( K e. N. -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + 1 ) = <. ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) , 0R >. )
18		pitonnlem1p1 6922	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. -> [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
19	6, 18	syl 14	. . . 4 |- ( K e. N. -> [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
20		df-1r 6817	. . . . . 6 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
21	20	oveq2i 5523	. . . . 5 |- ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) = ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
22		addclpr 6635	. . . . . . . 8 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
23	4, 4, 22	mp2an 402	. . . . . . 7 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
24		addsrpr 6830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R )
25	4, 24	mpanl2 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R )
26	23, 4, 25	mpanr12 415	. . . . . 6 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. -> ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R )
27	6, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. N. -> ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R )
28	21, 27	syl5eq 2084	. . . 4 |- ( K e. N. -> ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. ( 1P +P. 1P ) ) , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R )
29		addpinq1 6562	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. N. -> [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )
30	29	breq2d 3776	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. N. -> ( l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> l <Q ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) ) )
31	30	abbidv 2155	. . . . . . . . 9 |- ( K e. N. -> { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } = { l | l <Q ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) } )
32	29	breq1d 3774	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. N. -> ( [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u <-> ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) <Q u ) )
33	32	abbidv 2155	. . . . . . . . 9 |- ( K e. N. -> { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } = { u | ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) <Q u } )
34	31, 33	opeq12d 3557	. . . . . . . 8 |- ( K e. N. -> <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. = <. { l | l <Q ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) } , { u | ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) <Q u } >. )
35		nnnq 6520	. . . . . . . . 9 |- ( K e. N. -> [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. )
36		addnqpr1 6660	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. K , 1o >. ] ~Q e. Q. -> <. { l | l <Q ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) } , { u | ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) <Q u } >. = ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. N. -> <. { l | l <Q ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) } , { u | ( [ <. K , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) <Q u } >. = ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
38	34, 37	eqtrd 2072	. . . . . . 7 |- ( K e. N. -> <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. = ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
39	38	oveq1d 5527	. . . . . 6 |- ( K e. N. -> ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) = ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. 1P ) )
40	39	opeq1d 3555	. . . . 5 |- ( K e. N. -> <. ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. = <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. 1P ) , 1P >. )
41	40	eceq1d 6142	. . . 4 |- ( K e. N. -> [ <. ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
42	19, 28, 41	3eqtr4d 2082	. . 3 |- ( K e. N. -> ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) = [ <. ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
43	42	opeq1d 3555	. 2 |- ( K e. N. -> <. ( [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R +R 1R ) , 0R >. = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )
44	17, 43	eqtrd 2072	1 |- ( K e. N. -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. + 1 ) = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. ( K +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   <.cop 3378   class class class wbr 3764   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370   +N cpli 6371   ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378   1Qc1q 6379   +Q cplq 6380   <Q cltq 6383   P.cnp 6389   1Pc1p 6390   +P. cpp 6391   ~R cer 6394   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   1Rc1r 6397   +R cplr 6399   1c1 6890   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-0r 6816  df-1r 6817  df-c 6895  df-1 6897  df-add 6900

This theorem is referenced by:  pitonn  6924  nntopi  6968