ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitonnlem2 Unicode version

Theorem pitonnlem2 6743
Description: Lemma for pitonn 6744. Two ways to add one to a number. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
pitonnlem2  K  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
Distinct variable group:    K, l,

Proof of Theorem pitonnlem2
StepHypRef Expression
1 df-1 6719 . . . 4  1  <. 1R ,  0R >.
21oveq2i 5466 . . 3  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >.
3 nnprlu 6534 . . . . . . . 8  K  N.  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.
4 1pr 6535 . . . . . . . 8  1P  P.
5 addclpr 6520 . . . . . . . 8 
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.  1P  P.  <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.
63, 4, 5sylancl 392 . . . . . . 7  K  N.  <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.
7 opelxpi 4319 . . . . . . 7  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  1P  P.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  P.  X.  P.
86, 4, 7sylancl 392 . . . . . 6  K  N.  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  P.  X.  P.
9 enrex 6665 . . . . . . 7  ~R  _V
109ecelqsi 6096 . . . . . 6  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  P.  X.  P.  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
118, 10syl 14 . . . . 5  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
12 df-nr 6655 . . . . 5  R.  P.  X.  P. /.  ~R
1311, 12syl6eleqr 2128 . . . 4  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  R.
14 1sr 6679 . . . 4  1R  R.
15 addresr 6734 . . . 4  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  R.  1R  R.  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R  1R ,  0R >.
1613, 14, 15sylancl 392 . . 3  K  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R  1R ,  0R >.
172, 16syl5eq 2081 . 2  K  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  +R  1R ,  0R >.
18 pitonnlem1p1 6742 . . . . 5 
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P  +P.  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R
196, 18syl 14 . . . 4  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P 
+P.  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R
20 df-1r 6660 . . . . . 6  1R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >. 
~R
2120oveq2i 5466 . . . . 5  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  +R  1R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  +R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R
22 addclpr 6520 . . . . . . . 8  1P  P.  1P  P.  1P  +P.  1P  P.
234, 4, 22mp2an 402 . . . . . . 7  1P 
+P.  1P  P.
24 addsrpr 6673 . . . . . . . 8  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  P.  1P  P.  1P  +P.  1P  P.  1P  P.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R 
<. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P  +P.  1P >.  ~R
254, 24mpanl2 411 . . . . . . 7  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  1P  +P.  1P  P.  1P  P.  <. <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  +R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P  +P.  1P >.  ~R
2623, 4, 25mpanr12 415 . . . . . 6 
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  <. <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  +R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P  +P.  1P >.  ~R
276, 26syl 14 . . . . 5  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R 
<. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P  +P.  1P >.  ~R
2821, 27syl5eq 2081 . . . 4  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R  1R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P ,  1P 
+P.  1P >.  ~R
29 addpinq1 6447 . . . . . . . . . . 11  K  N.  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q
3029breq2d 3767 . . . . . . . . . 10  K  N. 
l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q
3130abbidv 2152 . . . . . . . . 9  K  N.  {
l  |  l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  }  {
l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q }
3229breq1d 3765 . . . . . . . . . 10  K  N.  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  <. K ,  1o >. 
~Q  +Q  1Q  <Q
3332abbidv 2152 . . . . . . . . 9  K  N.  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  }  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q  <Q  }
3431, 33opeq12d 3548 . . . . . . . 8  K  N.  <. { l  |  l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q  <Q  } >.
35 nnnq 6405 . . . . . . . . 9  K  N.  <. K ,  1o >. 
~Q  Q.
36 addnqpr1 6543 . . . . . . . . 9  <. K ,  1o >. 
~Q  Q.  <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  +Q  1Q  <Q  } >. 
<. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8  K  N.  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  +Q  1Q  <Q  } >.  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P
3834, 37eqtrd 2069 . . . . . . 7  K  N.  <. { l  |  l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  <. { l  |  l 
<Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
3938oveq1d 5470 . . . . . 6  K  N.  <. { l  |  l 
<Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P
4039opeq1d 3546 . . . . 5  K  N.  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P ,  1P >.
4140eceq1d 6078 . . . 4  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R
4219, 28, 413eqtr4d 2079 . . 3  K  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R  1R  <. <. { l  |  l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
4342opeq1d 3546 . 2  K  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  +R  1R ,  0R >. 
<. <. <. { l  |  l  <Q  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
4417, 43eqtrd 2069 1  K  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. K ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. K ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. K  +N  1o ,  1o >. 
~Q  } ,  {  |  <. K  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286  (class class class)co 5455   1oc1o 5933  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256    +N cpli 6257    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264   1Qc1q 6265    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275   1Pc1p 6276    +P. cpp 6277    ~R cer 6280   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   1Rc1r 6283    +R cplr 6285   1c1 6712    + caddc 6714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-0r 6659  df-1r 6660  df-c 6717  df-1 6719  df-add 6722
This theorem is referenced by:  pitonn  6744
  Copyright terms: Public domain W3C validator