ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsrpr Structured version   Unicode version

Theorem addsrpr 6653
Description: Addition of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
addsrpr  P.  P.  C  P.  D  P.  <. ,  >.  ~R  +R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R

Proof of Theorem addsrpr
Dummy variables  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4319 . . . 4  P.  P.  <. ,  >.  P.  X.  P.
2 enrex 6645 . . . . 5  ~R  _V
32ecelqsi 6096 . . . 4  <. ,  >.  P.  X.  P.  <. ,  >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
41, 3syl 14 . . 3  P.  P.  <. ,  >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
5 opelxpi 4319 . . . 4  C  P.  D  P.  <. C ,  D >.  P.  X.  P.
62ecelqsi 6096 . . . 4  <. C ,  D >.  P.  X.  P.  <. C ,  D >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
75, 6syl 14 . . 3  C  P.  D  P.  <. C ,  D >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
84, 7anim12i 321 . 2  P.  P.  C  P.  D  P.  <. ,  >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
9 eqid 2037 . . . 4  <. ,  >.  ~R  <. ,  >.  ~R
10 eqid 2037 . . . 4  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R
119, 10pm3.2i 257 . . 3  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >. 
~R
12 eqid 2037 . . 3  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R
13 opeq12 3542 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  <. ,  >.
1413eceq1d 6078 . . . . . . . 8  <. , 
>.  ~R  <. ,  >. 
~R
1514eqeq2d 2048 . . . . . . 7  <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  >.  ~R
1615anbi1d 438 . . . . . 6  <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R
17 simpl 102 . . . . . . . . . 10
1817oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  +P.  C  +P.  C
19 simpr 103 . . . . . . . . . 10
2019oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  +P.  D  +P.  D
2118, 20opeq12d 3548 . . . . . . . 8  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.
2221eceq1d 6078 . . . . . . 7  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
2322eqeq2d 2048 . . . . . 6  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
2416, 23anbi12d 442 . . . . 5  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R
2524spc2egv 2636 . . . 4  P.  P.  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R
26 opeq12 3542 . . . . . . . . . 10  C  t  D  <. ,  t
>.  <. C ,  D >.
2726eceq1d 6078 . . . . . . . . 9  C  t  D  <. ,  t
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R
2827eqeq2d 2048 . . . . . . . 8  C  t  D  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t
>.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R
2928anbi2d 437 . . . . . . 7  C  t  D  <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. ,  t >.  ~R  <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R
30 simpl 102 . . . . . . . . . . 11  C  t  D  C
3130oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10  C  t  D  +P.  +P.  C
32 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  C  t  D  t  D
3332oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10  C  t  D  +P.  t  +P.  D
3431, 33opeq12d 3548 . . . . . . . . 9  C  t  D  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.
3534eceq1d 6078 . . . . . . . 8  C  t  D  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
3635eqeq2d 2048 . . . . . . 7  C  t  D  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
3729, 36anbi12d 442 . . . . . 6  C  t  D  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R
3837spc2egv 2636 . . . . 5  C  P.  D  P.  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  t <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t
>.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R
39382eximdv 1759 . . . 4  C  P.  D  P.  <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  t <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R
4025, 39sylan9 389 . . 3  P.  P.  C  P.  D  P.  <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  t <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R
4111, 12, 40mp2ani 408 . 2  P.  P.  C  P.  D  P.  t <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R
42 ecexg 6046 . . . 4  ~R  _V  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  _V
432, 42ax-mp 7 . . 3  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  _V
44 simp1 903 . . . . . . . 8  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <. ,  >.  ~R
4544eqeq1d 2045 . . . . . . 7  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R
46 simp2 904 . . . . . . . 8  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R
4746eqeq1d 2045 . . . . . . 7  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t
>.  ~R
4845, 47anbi12d 442 . . . . . 6  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. ,  t
>.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t >.  ~R
49 simp3 905 . . . . . . 7  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
5049eqeq1d 2045 . . . . . 6  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R
5148, 50anbi12d 442 . . . . 5  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <. ,  >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R
52514exbidv 1747 . . . 4  <. ,  >.  ~R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  t  <. ,  >. 
~R  <. ,  t
>.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  t <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t
>.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R
53 addsrmo 6651 . . . 4  P.  X.  P. /.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  t  <. ,  >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R
54 df-plr 6636 . . . . 5  +R  { <. <. , 
>. ,  >.  | 
R.  R.  t  <. ,  >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  }
55 df-nr 6635 . . . . . . . . 9  R.  P.  X.  P. /.  ~R
5655eleq2i 2101 . . . . . . . 8  R.  P.  X.  P. /.  ~R
5755eleq2i 2101 . . . . . . . 8  R.  P.  X.  P. /.  ~R
5856, 57anbi12i 433 . . . . . . 7  R.  R.  P.  X.  P. /.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
5958anbi1i 431 . . . . . 6  R.  R.  t  <. ,  >. 
~R  <. ,  t
>.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  t  <. ,  >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R
6059oprabbii 5502 . . . . 5  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R.  R.  t  <. ,  >. 
~R  <. ,  t
>.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  }  { <. <. , 
>. ,  >.  |  P.  X.  P. /.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  t  <. ,  >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  }
6154, 60eqtri 2057 . . . 4  +R  { <. <. , 
>. ,  >.  |  P.  X.  P. /.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  t  <. ,  >.  ~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  ,  +P.  t >.  ~R  }
6252, 53, 61ovig 5564 . . 3  <. ,  >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R 
<. C ,  D >. 
~R  P.  X.  P. /.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  _V  t <. ,  >.  ~R  <. ,  >. 
~R  <. C ,  D >.  ~R  <. ,  t
>.  ~R 
<.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R  <. ,  >.  ~R  +R  <. C ,  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
6343, 62mp3an3 1220 . 2  <. ,  >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R 
<. C ,  D >. 
~R  P.  X.  P. /.  ~R  t <. ,  >.  ~R  <. , 
>.  ~R  <. C ,  D >. 
~R  <. ,  t >.  ~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R  <.  +P.  , 
+P.  t >. 
~R  <. ,  >.  ~R  +R  <. C ,  D >. 
~R  <.  +P.  C ,  +P.  D >.  ~R
648, 41, 63sylc 56 1  P.  P.  C  P.  D  P.  <. ,  >.  ~R  +R  <. C ,  D >.  ~R  <.  +P.  C , 
+P.  D >. 
~R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370    X. cxp 4286  (class class class)co 5455   {coprab 5456  cec 6040   /.cqs 6041   P.cnp 6275    +P. cpp 6277    ~R cer 6280   R.cnr 6281    +R cplr 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-enr 6634  df-nr 6635  df-plr 6636
This theorem is referenced by:  addclsr  6661  addcomsrg  6663  addasssrg  6664  distrsrg  6667  m1p1sr  6668  0idsr  6675  ltasrg  6678  pitonnlem2  6723
  Copyright terms: Public domain W3C validator