ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mptpreima Unicode version

Theorem mptpreima 4757
Description: The preimage of a function in maps-to notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dmmpt2.1  F  |->
Assertion
Ref Expression
mptpreima  `' F " C  {  |  C }
Distinct variable group:   , C
Allowed substitution hints:   ()   ()    F()

Proof of Theorem mptpreima
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmmpt2.1 . . . . . 6  F  |->
2 df-mpt 3811 . . . . . 6  |->  { <. ,  >.  |  }
31, 2eqtri 2057 . . . . 5  F  { <. , 
>.  |  }
43cnveqi 4453 . . . 4  `' F  `' { <. , 
>.  |  }
5 cnvopab 4669 . . . 4  `' { <. ,  >.  |  }  { <. ,  >.  |  }
64, 5eqtri 2057 . . 3  `' F  { <. ,  >.  |  }
76imaeq1i 4608 . 2  `' F " C  { <. ,  >.  |  } " C
8 df-ima 4301 . . 3  { <. ,  >.  |  } " C  ran  { <. ,  >.  |  }  |`  C
9 resopab 4595 . . . . 5  { <. ,  >.  |  }  |`  C  { <. ,  >.  |  C  }
109rneqi 4505 . . . 4  ran  { <. ,  >.  |  }  |`  C  ran  { <. ,  >.  |  C  }
11 ancom 253 . . . . . . . . 9  C  C
12 anass 381 . . . . . . . . 9  C  C
1311, 12bitri 173 . . . . . . . 8  C  C
1413exbii 1493 . . . . . . 7  C  C
15 19.42v 1783 . . . . . . . 8  C  C
16 df-clel 2033 . . . . . . . . . 10  C  C
1716bicomi 123 . . . . . . . . 9  C  C
1817anbi2i 430 . . . . . . . 8  C  C
1915, 18bitri 173 . . . . . . 7  C  C
2014, 19bitri 173 . . . . . 6  C  C
2120abbii 2150 . . . . 5  {  |  C  }  {  |  C }
22 rnopab 4524 . . . . 5  ran  { <. ,  >.  |  C  }  {  |  C  }
23 df-rab 2309 . . . . 5  {  |  C }  {  |  C }
2421, 22, 233eqtr4i 2067 . . . 4  ran  { <. ,  >.  |  C  }  {  |  C }
2510, 24eqtri 2057 . . 3  ran  { <. ,  >.  |  }  |`  C  {  |  C }
268, 25eqtri 2057 . 2  { <. ,  >.  |  } " C  {  |  C }
277, 26eqtri 2057 1  `' F " C  {  |  C }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023   {crab 2304   {copab 3808    |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301
This theorem is referenced by:  mptiniseg  4758  dmmpt  4759  fmpt  5262  f1oresrab  5272  suppssfv  5650  suppssov1  5651
  Copyright terms: Public domain W3C validator