ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltposr Structured version   Unicode version

Theorem ltposr 6651
Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltposr  <R  Po  R.

Proof of Theorem ltposr
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6615 . . . . 5  R.  P.  X.  P. /.  ~R
2 id 19 . . . . . . 7  <. ,  >. 
~R  <. , 
>.  ~R
32, 2breq12d 3768 . . . . . 6  <. ,  >. 
~R  <. , 
>.  ~R  <R  <. ,  >.  ~R  <R
43notbid 591 . . . . 5  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <R 
<. ,  >. 
~R  <R
5 ltsopr 6568 . . . . . . . 8  <P  Or  P.
6 ltrelpr 6487 . . . . . . . 8  <P  C_  P.  X.  P.
75, 6soirri 4662 . . . . . . 7  +P.  <P  +P.
8 addcomprg 6552 . . . . . . . 8  P.  P.  +P.  +P.
98breq2d 3767 . . . . . . 7  P.  P.  +P.  <P 
+P. 
+P.  <P  +P.
107, 9mtbii 598 . . . . . 6  P.  P.  +P.  <P 
+P.
11 ltsrprg 6635 . . . . . . 7  P.  P.  P.  P.  <. ,  >.  ~R  <R  <. , 
>.  ~R 
+P.  <P  +P.
1211anidms 377 . . . . . 6  P.  P.  <. ,  >.  ~R  <R 
<. ,  >. 
~R  +P.  <P  +P.
1310, 12mtbird 597 . . . . 5  P.  P.  <. ,  >.  ~R  <R 
<. ,  >. 
~R
141, 4, 13ecoptocl 6129 . . . 4  R.  <R
1514adantl 262 . . 3 
R.  <R
16 lttrsr 6650 . . . 4  R.  R.  h  R.  <R  <R  h  <R  h
1716adantl 262 . . 3  R.  R.  h 
R.  <R  <R  h  <R  h
1815, 17ispod 4032 . 2  <R  Po  R.
1918trud 1251 1  <R  Po  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wtru 1243   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755    Po wpo 4022  (class class class)co 5455  cec 6040   P.cnp 6275    +P. cpp 6277    <P cltp 6279    ~R cer 6280   R.cnr 6281    <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618
This theorem is referenced by:  ltsosr  6652
  Copyright terms: Public domain W3C validator