Theorem ltsrprg 6675

Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltsrprg	|- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.)) -> ([ <.A , B >.] ~R <R [ <. C , D >.] ~R <-> (A +P. D) <P (B +P. C)))

Proof of Theorem ltsrprg

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrex 6665	. 2 |- ~R e. _V
2		enrer 6663	. 2 |- ~R Er ( P. X. P.)
3		df-nr 6655	. 2 |- R. = (( P. X. P.) /. ~R )
4		df-ltr 6658	. 2 |- <R = { <.x , y >. | ((x e. R. /\ y e. R.) /\ E.zE.wE.vE.u((x = [ <.z , w >.] ~R /\ y = [ <.v , u >.] ~R ) /\ (z +P. u) <P (w +P. v))) }
5		enreceq 6664	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) -> ([ <.z , w >.] ~R = [ <.A , B >.] ~R <-> (z +P. B) = (w +P. A)))
6		enreceq 6664	. . . . . 6 |- (((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.)) -> ([ <.v , u >.] ~R = [ <. C , D >.] ~R <-> (v +P. D) = (u +P. C)))
7		eqcom 2039	. . . . . 6 |- ((v +P. D) = (u +P. C) <-> (u +P. C) = (v +P. D))
8	6, 7	syl6bb 185	. . . . 5 |- (((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.)) -> ([ <.v , u >.] ~R = [ <. C , D >.] ~R <-> (u +P. C) = (v +P. D)))
9	5, 8	bi2anan9 538	. . . 4 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (([ <.z , w >.] ~R = [ <.A , B >.] ~R /\ [ <.v , u >.] ~R = [ <. C , D >.] ~R ) <-> ((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D))))
10		oveq12 5464	. . . . . . 7 |- (((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D)) -> ((z +P. B) +P. (u +P. C)) = ((w +P. A) +P. (v +P. D)))
11	10	adantl 262	. . . . . 6 |- (((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) /\ ((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D))) -> ((z +P. B) +P. (u +P. C)) = ((w +P. A) +P. (v +P. D)))
12		simprlr 490	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> u e. P.)
13		simplrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> B e. P.)
14		addcomprg 6554	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u e. P. /\ B e. P.) -> (u +P. B) = (B +P. u))
15	14	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 |- ((u e. P. /\ B e. P.) -> ((u +P. B) +P. C) = ((B +P. u) +P. C))
16	12, 13, 15	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((u +P. B) +P. C) = ((B +P. u) +P. C))
17		simprrl 491	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> C e. P.)
18		addassprg 6555	. . . . . . . . . . 11 |- ((u e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) -> ((u +P. B) +P. C) = (u +P. (B +P. C)))
19	12, 13, 17, 18	syl3anc 1134	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((u +P. B) +P. C) = (u +P. (B +P. C)))
20		addassprg 6555	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. P. /\ u e. P. /\ C e. P.) -> ((B +P. u) +P. C) = (B +P. (u +P. C)))
21	13, 12, 17, 20	syl3anc 1134	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((B +P. u) +P. C) = (B +P. (u +P. C)))
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2077	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (u +P. (B +P. C)) = (B +P. (u +P. C)))
23	22	oveq2d 5471	. . . . . . . 8 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (z +P. (u +P. (B +P. C))) = (z +P. (B +P. (u +P. C))))
24		simplll 485	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> z e. P.)
25		addclpr 6520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. P. /\ v e. P.) -> (w +P. v) e. P.)
26	25	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (w +P. v) e. P.)
27		addclpr 6520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. P. /\ C e. P.) -> (B +P. C) e. P.)
28	27	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.)) -> (B +P. C) e. P.)
29	26, 28	anim12ci 322	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) /\ ((A e. P. /\ B e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.))
30	29	an4s 522	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.))
31	30	simpld 105	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (B +P. C) e. P.)
32		addassprg 6555	. . . . . . . . 9 |- ((z e. P. /\ u e. P. /\ (B +P. C) e. P.) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = (z +P. (u +P. (B +P. C))))
33	24, 12, 31, 32	syl3anc 1134	. . . . . . . 8 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = (z +P. (u +P. (B +P. C))))
34		addclpr 6520	. . . . . . . . . 10 |- ((u e. P. /\ C e. P.) -> (u +P. C) e. P.)
35	12, 17, 34	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (u +P. C) e. P.)
36		addassprg 6555	. . . . . . . . 9 |- ((z e. P. /\ B e. P. /\ (u +P. C) e. P.) -> ((z +P. B) +P. (u +P. C)) = (z +P. (B +P. (u +P. C))))
37	24, 13, 35, 36	syl3anc 1134	. . . . . . . 8 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((z +P. B) +P. (u +P. C)) = (z +P. (B +P. (u +P. C))))
38	23, 33, 37	3eqtr4d 2079	. . . . . . 7 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((z +P. B) +P. (u +P. C)))
39	38	adantr 261	. . . . . 6 |- (((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) /\ ((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D))) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((z +P. B) +P. (u +P. C)))
40		simprll 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> v e. P.)
41		simplrl 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> A e. P.)
42		addcomprg 6554	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. P. /\ A e. P.) -> (v +P. A) = (A +P. v))
43	40, 41, 42	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (v +P. A) = (A +P. v))
44	43	oveq1d 5470	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((v +P. A) +P. D) = ((A +P. v) +P. D))
45		simprrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> D e. P.)
46		addassprg 6555	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. P. /\ A e. P. /\ D e. P.) -> ((v +P. A) +P. D) = (v +P. (A +P. D)))
47	40, 41, 45, 46	syl3anc 1134	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((v +P. A) +P. D) = (v +P. (A +P. D)))
48		addassprg 6555	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ v e. P. /\ D e. P.) -> ((A +P. v) +P. D) = (A +P. (v +P. D)))
49	41, 40, 45, 48	syl3anc 1134	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((A +P. v) +P. D) = (A +P. (v +P. D)))
50	44, 47, 49	3eqtr3d 2077	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (v +P. (A +P. D)) = (A +P. (v +P. D)))
51	50	oveq2d 5471	. . . . . . . 8 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (w +P. (v +P. (A +P. D))) = (w +P. (A +P. (v +P. D))))
52		simpllr 486	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> w e. P.)
53		addclpr 6520	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ D e. P.) -> (A +P. D) e. P.)
54	41, 45, 53	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (A +P. D) e. P.)
55		addassprg 6555	. . . . . . . . 9 |- ((w e. P. /\ v e. P. /\ (A +P. D) e. P.) -> ((w +P. v) +P. (A +P. D)) = (w +P. (v +P. (A +P. D))))
56	52, 40, 54, 55	syl3anc 1134	. . . . . . . 8 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((w +P. v) +P. (A +P. D)) = (w +P. (v +P. (A +P. D))))
57		addclpr 6520	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. P. /\ D e. P.) -> (v +P. D) e. P.)
58	40, 45, 57	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (v +P. D) e. P.)
59		addassprg 6555	. . . . . . . . 9 |- ((w e. P. /\ A e. P. /\ (v +P. D) e. P.) -> ((w +P. A) +P. (v +P. D)) = (w +P. (A +P. (v +P. D))))
60	52, 41, 58, 59	syl3anc 1134	. . . . . . . 8 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((w +P. A) +P. (v +P. D)) = (w +P. (A +P. (v +P. D))))
61	51, 56, 60	3eqtr4d 2079	. . . . . . 7 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> ((w +P. v) +P. (A +P. D)) = ((w +P. A) +P. (v +P. D)))
62	61	adantr 261	. . . . . 6 |- (((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) /\ ((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D))) -> ((w +P. v) +P. (A +P. D)) = ((w +P. A) +P. (v +P. D)))
63	11, 39, 62	3eqtr4d 2079	. . . . 5 |- (((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) /\ ((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D))) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D)))
64	63	ex 108	. . . 4 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D)) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D))))
65	9, 64	sylbid 139	. . 3 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (([ <.z , w >.] ~R = [ <.A , B >.] ~R /\ [ <.v , u >.] ~R = [ <. C , D >.] ~R ) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D))))
66		ltaprg 6592	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ f e. P.) -> (x <P y <-> (f +P. x) <P (f +P. y)))
67	66	adantl 262	. . . 4 |- (((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) /\ (x e. P. /\ y e. P. /\ f e. P.)) -> (x <P y <-> (f +P. x) <P (f +P. y)))
68		addclpr 6520	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ u e. P.) -> (z +P. u) e. P.)
69	24, 12, 68	syl2anc 391	. . . 4 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (z +P. u) e. P.)
70	30	simprd 107	. . . 4 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (w +P. v) e. P.)
71		addcomprg 6554	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x +P. y) = (y +P. x))
72	71	adantl 262	. . . 4 |- (((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> (x +P. y) = (y +P. x))
73	67, 69, 31, 70, 72, 54	caovord3d 5613	. . 3 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D)) -> ((z +P. u) <P (w +P. v) <-> (A +P. D) <P (B +P. C))))
74	65, 73	syld 40	. 2 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.))) -> (([ <.z , w >.] ~R = [ <.A , B >.] ~R /\ [ <.v , u >.] ~R = [ <. C , D >.] ~R ) -> ((z +P. u) <P (w +P. v) <-> (A +P. D) <P (B +P. C))))
75	1, 2, 3, 4, 74	brecop 6132	1 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ( C e. P. /\ D e. P.)) -> ([ <.A , B >.] ~R <R [ <. C , D >.] ~R <-> (A +P. D) <P (B +P. C)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040   P.cnp 6275   +P. cpp 6277   <P cltp 6279   ~R cer 6280   R.cnr 6281   <R cltr 6287

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658

This theorem is referenced by:  gt0srpr  6676  lttrsr  6690  ltposr  6691  ltsosr  6692  0lt1sr  6693  ltasrg  6698  aptisr  6705  mulextsr1  6707  archsr  6708