Theorem elz2 8088

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	|- ( N e. ZZ <-> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))

Distinct variable group:   x,y, N

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 8036	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0)))
2		nn0p1nn 7997	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1) e. NN)
3	2	adantl 262	. . . . 5 |- (( N e. RR /\ N e. NN0) -> ( N + 1) e. NN)
4		1nn 7706	. . . . . 6 |- 1 e. NN
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- (( N e. RR /\ N e. NN0) -> 1 e. NN)
6		recn 6812	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC)
7	6	adantr 261	. . . . . . 7 |- (( N e. RR /\ N e. NN0) -> N e. CC)
8		ax-1cn 6776	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		pncan 7014	. . . . . . 7 |- (( N e. CC /\ 1 e. CC) -> (( N + 1) - 1) = N)
10	7, 8, 9	sylancl 392	. . . . . 6 |- (( N e. RR /\ N e. NN0) -> (( N + 1) - 1) = N)
11	10	eqcomd 2042	. . . . 5 |- (( N e. RR /\ N e. NN0) -> N = (( N + 1) - 1))
12		rspceov 5489	. . . . 5 |- ((( N + 1) e. NN /\ 1 e. NN /\ N = (( N + 1) - 1)) -> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1134	. . . 4 |- (( N e. RR /\ N e. NN0) -> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))
14	4	a1i 9	. . . . 5 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> 1 e. NN)
15	6	adantr 261	. . . . . . 7 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> N e. CC)
16		negsub 7055	. . . . . . 7 |- (( 1 e. CC /\ N e. CC) -> ( 1 + -u N) = ( 1 - N))
17	8, 15, 16	sylancr 393	. . . . . 6 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> ( 1 + -u N) = ( 1 - N))
18		simpr 103	. . . . . . 7 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> -u N e. NN0)
19		nnnn0addcl 7988	. . . . . . 7 |- (( 1 e. NN /\ -u N e. NN0) -> ( 1 + -u N) e. NN)
20	4, 18, 19	sylancr 393	. . . . . 6 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> ( 1 + -u N) e. NN)
21	17, 20	eqeltrrd 2112	. . . . 5 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> ( 1 - N) e. NN)
22		nncan 7036	. . . . . . 7 |- (( 1 e. CC /\ N e. CC) -> ( 1 - ( 1 - N)) = N)
23	8, 15, 22	sylancr 393	. . . . . 6 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> ( 1 - ( 1 - N)) = N)
24	23	eqcomd 2042	. . . . 5 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> N = ( 1 - ( 1 - N)))
25		rspceov 5489	. . . . 5 |- (( 1 e. NN /\ ( 1 - N) e. NN /\ N = ( 1 - ( 1 - N))) -> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1134	. . . 4 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN0) -> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))
27	13, 26	jaodan 709	. . 3 |- (( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0)) -> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))
28		nnre 7702	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> x e. RR)
29		nnre 7702	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> y e. RR)
30		resubcl 7071	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x - y) e. RR)
31	28, 29, 30	syl2an 273	. . . . . 6 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (x - y) e. RR)
32		nnz 8040	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
33		nnz 8040	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> x e. ZZ)
34		zletric 8065	. . . . . . . 8 |- ((y e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (y <_ x \/ x <_ y))
35	32, 33, 34	syl2anr 274	. . . . . . 7 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (y <_ x \/ x <_ y))
36		nnnn0 7964	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. NN0)
37		nnnn0 7964	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> x e. NN0)
38		nn0sub 8086	. . . . . . . . 9 |- ((y e. NN0 /\ x e. NN0) -> (y <_ x <-> (x - y) e. NN0))
39	36, 37, 38	syl2anr 274	. . . . . . . 8 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (y <_ x <-> (x - y) e. NN0))
40		nn0sub 8086	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN0 /\ y e. NN0) -> (x <_ y <-> (y - x) e. NN0))
41	37, 36, 40	syl2an 273	. . . . . . . . 9 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (x <_ y <-> (y - x) e. NN0))
42		nncn 7703	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. NN -> x e. CC)
43		nncn 7703	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN -> y e. CC)
44		negsubdi2 7066	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> -u(x - y) = (y - x))
45	42, 43, 44	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> -u(x - y) = (y - x))
46	45	eleq1d 2103	. . . . . . . . 9 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ( -u(x - y) e. NN0 <-> (y - x) e. NN0))
47	41, 46	bitr4d 180	. . . . . . . 8 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (x <_ y <-> -u(x - y) e. NN0))
48	39, 47	orbi12d 706	. . . . . . 7 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((y <_ x \/ x <_ y) <-> ((x - y) e. NN0 \/ -u(x - y) e. NN0)))
49	35, 48	mpbid 135	. . . . . 6 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((x - y) e. NN0 \/ -u(x - y) e. NN0))
50	31, 49	jca 290	. . . . 5 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((x - y) e. RR /\ ((x - y) e. NN0 \/ -u(x - y) e. NN0)))
51		eleq1 2097	. . . . . 6 |- ( N = (x - y) -> ( N e. RR <-> (x - y) e. RR))
52		eleq1 2097	. . . . . . 7 |- ( N = (x - y) -> ( N e. NN0 <-> (x - y) e. NN0))
53		negeq 7001	. . . . . . . 8 |- ( N = (x - y) -> -u N = -u(x - y))
54	53	eleq1d 2103	. . . . . . 7 |- ( N = (x - y) -> ( -u N e. NN0 <-> -u(x - y) e. NN0))
55	52, 54	orbi12d 706	. . . . . 6 |- ( N = (x - y) -> (( N e. NN0 \/ -u N e. NN0) <-> ((x - y) e. NN0 \/ -u(x - y) e. NN0)))
56	51, 55	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( N = (x - y) -> (( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0)) <-> ((x - y) e. RR /\ ((x - y) e. NN0 \/ -u(x - y) e. NN0))))
57	50, 56	syl5ibrcom 146	. . . 4 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ( N = (x - y) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0))))
58	57	rexlimivv 2432	. . 3 |- (E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0)))
59	27, 58	impbii 117	. 2 |- (( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0)) <-> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))
60	1, 59	bitri 173	1 |- ( N e. ZZ <-> E.x e. NN E.y e. NN N = (x - y))

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 628   = wceq 1242   e. wcel 1390  E.wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   1c1 6712   + caddc 6714   <_ cle 6858   - cmin 6979   -ucneg 6980   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ZZcz 8021

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022

This theorem is referenced by:  dfz2  8089