ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnn0addcl Unicode version

Theorem nnnn0addcl 7988
Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0addcl  M  NN  N  NN0  M  +  N  NN

Proof of Theorem nnnn0addcl
StepHypRef Expression
1 elnn0 7959 . 2  N  NN0  N  NN  N  0
2 nnaddcl 7715 . . 3  M  NN  N  NN  M  +  N  NN
3 oveq2 5463 . . . . 5  N  0  M  +  N  M  +  0
4 nncn 7703 . . . . . 6  M  NN  M  CC
54addid1d 6959 . . . . 5  M  NN  M  +  0  M
63, 5sylan9eqr 2091 . . . 4  M  NN  N  0  M  +  N  M
7 simpl 102 . . . 4  M  NN  N  0  M  NN
86, 7eqeltrd 2111 . . 3  M  NN  N  0  M  +  N  NN
92, 8jaodan 709 . 2  M  NN  N  NN  N  0  M  +  N  NN
101, 9sylan2b 271 1  M  NN  N  NN0  M  +  N  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   0cc0 6711    + caddc 6714   NNcn 7695   NN0cn0 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-inn 7696  df-n0 7958
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  7989  elz2  8088
  Copyright terms: Public domain W3C validator