Theorem bernneq3 9371

Description: A corollary of bernneq 9369. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq3	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 8190	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2	1	adantl 262	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
3		peano2re 7149	. . 3 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
5		eluzelre 8483	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
6		reexpcl 9272	. . 3 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
7	5, 6	sylan 267	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
8	2	ltp1d 7896	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( N + 1 ) )
9		uz2m1nn 8542	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
10	9	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
11	10	nnred 7927	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. RR )
12	11, 2	remulcld 7056	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR )
13		peano2re 7149	. . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
15		1red 7042	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. RR )
16		nn0ge0 8207	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
17	16	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ N )
18	10	nnge1d 7956	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( P - 1 ) )
19	2, 11, 17, 18	lemulge12d 7904	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( ( P - 1 ) x. N ) )
20	2, 12, 15, 19	leadd1dd 7550	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) )
21	5	adantr 261	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
22		simpr 103	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
23		eluzge2nn0 8512	. . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN0 )
24		nn0ge0 8207	. . . . . 6 |- ( P e. NN0 -> 0 <_ P )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ P )
26	25	adantr 261	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ P )
27		bernneq2 9370	. . . 4 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ P ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1135	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
29	4, 14, 7, 20, 28	letrd 7138	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
30	2, 4, 7, 8, 29	ltletrd 7420	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   < clt 7060   <_ cle 7061   - cmin 7182   NNcn 7914   2c2 7964   NN0cn0 8181   ZZ>=cuz 8473   ^cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  9617  resqrexlemga  9621