ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnbnd Unicode version

Theorem expnbnd 9025
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd  RR  RR  1  <  k  NN  <  ^ k
Distinct variable groups:   , k   , k

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . 4  RR  RR  1  <  RR
21adantr 261 . . 3  RR  RR  1  <  1  <  RR
3 simp2 904 . . . 4  RR  RR  1  <  RR
43adantr 261 . . 3  RR  RR  1  <  1  <  RR
5 simpr 103 . . 3  RR  RR  1  <  1  <  1  <
6 simp3 905 . . . 4  RR  RR  1  <  1  <
76adantr 261 . . 3  RR  RR  1  <  1  <  1  <
8 1red 6840 . . . . . . . . 9  RR  RR  1  <  1  RR
91, 8resubcld 7175 . . . . . . . 8  RR  RR  1  <  -  1  RR
103, 8resubcld 7175 . . . . . . . 8  RR  RR  1  <  -  1  RR
118, 3posdifd 7318 . . . . . . . . . 10  RR  RR  1  < 
1  <  0  <  -  1
126, 11mpbid 135 . . . . . . . . 9  RR  RR  1  <  0  <  -  1
1310, 12gt0ap0d 7411 . . . . . . . 8  RR  RR  1  <  -  1 #  0
149, 10, 13redivclapd 7589 . . . . . . 7  RR  RR  1  <  -  1  - 
1  RR
15 arch 7954 . . . . . . 7  -  1  -  1  RR  k  NN  -  1  - 
1  < 
k
1614, 15syl 14 . . . . . 6  RR  RR  1  <  k  NN  -  1  - 
1  < 
k
17163expa 1103 . . . . 5  RR  RR  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k
1817adantrl 447 . . . 4  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k
19 simplll 485 . . . . . . . 8  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  RR
2019adantr 261 . . . . . . 7  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  RR
21 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  RR
22 1red 6840 . . . . . . . . . . 11  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  1  RR
2321, 22resubcld 7175 . . . . . . . . . 10  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  -  1  RR
24 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  k  NN
2524nnred 7708 . . . . . . . . . 10  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  k  RR
2623, 25remulcld 6853 . . . . . . . . 9  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  -  1  x.  k  RR
2726, 22readdcld 6852 . . . . . . . 8  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  -  1  x.  k  +  1  RR
2827adantr 261 . . . . . . 7  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  -  1  x.  k  +  1  RR
2924nnnn0d 8011 . . . . . . . . 9  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  k  NN0
30 reexpcl 8926 . . . . . . . . 9  RR  k  NN0  ^ k  RR
3121, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . . 8  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  ^ k  RR
3231adantr 261 . . . . . . 7  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  ^ k  RR
33 simpr 103 . . . . . . . . 9  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  - 
1  -  1  <  k
34 1red 6840 . . . . . . . . . . 11  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  1  RR
3520, 34resubcld 7175 . . . . . . . . . 10  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  -  1  RR
36 simplr 482 . . . . . . . . . . 11  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  k  NN
3736nnred 7708 . . . . . . . . . 10  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  k  RR
3821adantr 261 . . . . . . . . . . 11  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  RR
3938, 34resubcld 7175 . . . . . . . . . 10  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  -  1  RR
40 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  1  <
4140adantr 261 . . . . . . . . . . 11  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  1  <
4234, 38posdifd 7318 . . . . . . . . . . 11  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  1  < 
0  <  -  1
4341, 42mpbid 135 . . . . . . . . . 10  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  0  <  -  1
44 ltdivmul 7623 . . . . . . . . . 10  -  1  RR  k  RR  -  1  RR  0  <  -  1  - 
1  -  1  <  k  -  1  <  -  1  x.  k
4535, 37, 39, 43, 44syl112anc 1138 . . . . . . . . 9  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  -  1  -  1  <  k  -  1  <  -  1  x.  k
4633, 45mpbid 135 . . . . . . . 8  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  -  1  <  -  1  x.  k
4739, 37remulcld 6853 . . . . . . . . 9  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  - 
1  x.  k  RR
4820, 34, 47ltsubaddd 7327 . . . . . . . 8  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  - 
1  <  -  1  x.  k  <  - 
1  x.  k  +  1
4946, 48mpbid 135 . . . . . . 7  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  <  -  1  x.  k  +  1
5036nnnn0d 8011 . . . . . . . 8  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  k  NN0
51 0red 6826 . . . . . . . . . 10  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  0  RR
52 0lt1 6938 . . . . . . . . . . . 12  0  <  1
53 0re 6825 . . . . . . . . . . . . 13  0  RR
54 1re 6824 . . . . . . . . . . . . 13  1  RR
55 lttr 6889 . . . . . . . . . . . . 13  0  RR  1  RR  RR  0  <  1  1  <  0  <
5653, 54, 55mp3an12 1221 . . . . . . . . . . . 12  RR  0  <  1  1  <  0  <
5752, 56mpani 406 . . . . . . . . . . 11  RR 
1  <  0  <
5821, 40, 57sylc 56 . . . . . . . . . 10  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  0  <
5951, 21, 58ltled 6932 . . . . . . . . 9  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  0  <_
6059adantr 261 . . . . . . . 8  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  0  <_
61 bernneq2 9023 . . . . . . . 8  RR  k  NN0  0  <_  -  1  x.  k  +  1  <_  ^ k
6238, 50, 60, 61syl3anc 1134 . . . . . . 7  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  -  1  x.  k  +  1  <_  ^ k
6320, 28, 32, 49, 62ltletrd 7216 . . . . . 6  RR  RR 
1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  <  ^ k
6463ex 108 . . . . 5  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  -  1  -  1  <  k  <  ^ k
6564reximdva 2415 . . . 4  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  -  1  - 
1  < 
k  k  NN  <  ^ k
6618, 65mpd 13 . . 3  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  <  ^ k
672, 4, 5, 7, 66syl22anc 1135 . 2  RR  RR  1  <  1  <  k  NN  <  ^
k
68 1nn 7706 . . 3  1  NN
69 simpr 103 . . . 4  RR  RR  1  <  <  <
70 simpl2 907 . . . . . 6  RR  RR  1  <  <  RR
7170recnd 6851 . . . . 5  RR  RR  1  <  <  CC
72 exp1 8915 . . . . 5  CC  ^ 1
7371, 72syl 14 . . . 4  RR  RR  1  <  <  ^ 1
7469, 73breqtrrd 3781 . . 3  RR  RR  1  <  <  <  ^
1
75 oveq2 5463 . . . . 5  k  1  ^ k  ^ 1
7675breq2d 3767 . . . 4  k  1  <  ^
k  <  ^ 1
7776rspcev 2650 . . 3  1  NN  <  ^
1  k  NN  <  ^
k
7868, 74, 77sylancr 393 . 2  RR  RR  1  <  <  k  NN  <  ^
k
79 axltwlin 6884 . . . . 5  1  RR  RR  RR 
1  <  1  <  <
8054, 79mp3an1 1218 . . . 4  RR  RR  1  <  1  <  <
8180ancoms 255 . . 3  RR  RR  1  <  1  <  <
82813impia 1100 . 2  RR  RR  1  < 
1  <  <
8367, 78, 82mpjaodan 710 1  RR  RR  1  <  k  NN  <  ^ k
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    x. cmul 6716    < clt 6857    <_ cle 6858    - cmin 6979   cdiv 7433   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ^cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801  ax-arch 6802
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  expnlbnd  9026
  Copyright terms: Public domain W3C validator