ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 GIF version

Theorem bernneq3 9024
Description: A corollary of bernneq 9022. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 7966 . . 3 (𝑁 0𝑁 ℝ)
21adantl 262 . 2 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑁 ℝ)
3 peano2re 6946 . . 3 (𝑁 ℝ → (𝑁 + 1) ℝ)
42, 3syl 14 . 2 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (𝑁 + 1) ℝ)
5 eluzelre 8259 . . 3 (𝑃 (ℤ‘2) → 𝑃 ℝ)
6 reexpcl 8926 . . 3 ((𝑃 𝑁 0) → (𝑃𝑁) ℝ)
75, 6sylan 267 . 2 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (𝑃𝑁) ℝ)
82ltp1d 7677 . 2 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9 uz2m1nn 8318 . . . . . . 7 (𝑃 (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ℕ)
109adantr 261 . . . . . 6 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (𝑃 − 1) ℕ)
1110nnred 7708 . . . . 5 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (𝑃 − 1) ℝ)
1211, 2remulcld 6853 . . . 4 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ℝ)
13 peano2re 6946 . . . 4 (((𝑃 − 1) · 𝑁) ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ℝ)
1412, 13syl 14 . . 3 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ℝ)
15 1red 6840 . . . 4 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 1 ℝ)
16 nn0ge0 7983 . . . . . 6 (𝑁 0 → 0 ≤ 𝑁)
1716adantl 262 . . . . 5 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 0 ≤ 𝑁)
1810nnge1d 7737 . . . . 5 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 7685 . . . 4 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
202, 12, 15, 19leadd1dd 7345 . . 3 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
215adantr 261 . . . 4 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑃 ℝ)
22 simpr 103 . . . 4 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑁 0)
23 eluzge2nn0 8288 . . . . . 6 (𝑃 (ℤ‘2) → 𝑃 0)
24 nn0ge0 7983 . . . . . 6 (𝑃 0 → 0 ≤ 𝑃)
2523, 24syl 14 . . . . 5 (𝑃 (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2625adantr 261 . . . 4 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 0 ≤ 𝑃)
27 bernneq2 9023 . . . 4 ((𝑃 𝑁 0 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1134 . . 3 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
294, 14, 7, 20, 28letrd 6935 . 2 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃𝑁))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 7216 1 ((𝑃 (ℤ‘2) 𝑁 0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   < clt 6857  cle 6858  cmin 6979  cn 7695  2c2 7744  0cn0 7957  cuz 8249  cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator