ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  asymref Structured version   Unicode version

Theorem asymref 4653
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive.  U. U. R is the field of a relation by relfld 4789. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
asymref  R  i^i  `' R  _I  |` 
U. U. R  U. U. R R  R
Distinct variable group:   ,, R

Proof of Theorem asymref
StepHypRef Expression
1 df-br 3756 . . . . . . . . . . 11  R  <. ,  >.  R
2 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
3 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
42, 3opeluu 4148 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  R  U. U. R 
U. U. R
51, 4sylbi 114 . . . . . . . . . 10  R  U. U. R  U. U. R
65simpld 105 . . . . . . . . 9  R  U. U. R
76adantr 261 . . . . . . . 8  R  R  U. U. R
87pm4.71ri 372 . . . . . . 7  R  R  U. U. R  R  R
98bibi1i 217 . . . . . 6  R  R  U. U. R  U. U. R  R  R  U. U. R
10 elin 3120 . . . . . . . 8  <. ,  >.  R  i^i  `' R  <. , 
>.  R  <. ,  >.  `' R
112, 3brcnv 4461 . . . . . . . . . 10  `' R  R
12 df-br 3756 . . . . . . . . . 10  `' R  <. ,  >.  `' R
1311, 12bitr3i 175 . . . . . . . . 9  R  <. ,  >.  `' R
141, 13anbi12i 433 . . . . . . . 8  R  R  <. ,  >.  R  <. , 
>.  `' R
1510, 14bitr4i 176 . . . . . . 7  <. ,  >.  R  i^i  `' R  R  R
163opelres 4560 . . . . . . . 8  <. ,  >.  _I  |`  U. U. R  <. , 
>.  _I  U. U. R
17 df-br 3756 . . . . . . . . . 10  _I  <. ,  >.  _I
183ideq 4431 . . . . . . . . . 10  _I
1917, 18bitr3i 175 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  _I
2019anbi2ci 432 . . . . . . . 8 
<. ,  >.  _I 
U. U. R  U. U. R
2116, 20bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >.  _I  |`  U. U. R  U. U. R
2215, 21bibi12i 218 . . . . . 6 
<. ,  >.  R  i^i  `' R  <. ,  >.  _I  |`  U. U. R  R  R  U. U. R
23 pm5.32 426 . . . . . 6  U. U. R  R  R  U. U. R  R  R  U. U. R
249, 22, 233bitr4i 201 . . . . 5 
<. ,  >.  R  i^i  `' R  <. ,  >.  _I  |`  U. U. R 
U. U. R  R  R
2524albii 1356 . . . 4  <. , 
>.  R  i^i  `' R  <. ,  >.  _I  |`  U. U. R  U. U. R  R  R
26 19.21v 1750 . . . 4  U. U. R  R  R  U. U. R  R  R
2725, 26bitri 173 . . 3  <. , 
>.  R  i^i  `' R  <. ,  >.  _I  |`  U. U. R  U. U. R  R  R
2827albii 1356 . 2  <. ,  >.  R  i^i  `' R 
<. ,  >.  _I  |`  U. U. R  U. U. R  R  R
29 relcnv 4646 . . . 4  Rel  `' R
30 relin2 4399 . . . 4  Rel  `' R  Rel  R  i^i  `' R
3129, 30ax-mp 7 . . 3  Rel  R  i^i  `' R
32 relres 4582 . . 3  Rel  _I  |`  U. U. R
33 eqrel 4372 . . 3  Rel  R  i^i  `' R  Rel  _I  |`  U. U. R  R  i^i  `' R  _I  |` 
U. U. R  <. ,  >.  R  i^i  `' R 
<. ,  >.  _I  |`  U. U. R
3431, 32, 33mp2an 402 . 2  R  i^i  `' R  _I  |` 
U. U. R  <. ,  >.  R  i^i  `' R 
<. ,  >.  _I  |`  U. U. R
35 df-ral 2305 . 2  U. U. R R  R  U. U. R  R  R
3628, 34, 353bitr4i 201 1  R  i^i  `' R  _I  |` 
U. U. R  U. U. R R  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300    i^i cin 2910   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    _I cid 4016   `'ccnv 4287    |` cres 4290   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-res 4300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator