ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intirr Structured version   Unicode version

Theorem intirr 4654
Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intirr  R  i^i  _I  (/)  R
Distinct variable group:   , R

Proof of Theorem intirr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3123 . . . 4  R  i^i  _I  _I  i^i  R
21eqeq1i 2044 . . 3  R  i^i  _I  (/)  _I  i^i  R  (/)
3 disj2 3269 . . 3  _I  i^i  R  (/)  _I  C_  _V  \  R
4 reli 4408 . . . 4  Rel  _I
5 ssrel 4371 . . . 4  Rel 
_I  _I  C_  _V  \  R 
<. ,  >.  _I  <. ,  >.  _V  \  R
64, 5ax-mp 7 . . 3  _I  C_  _V  \  R 
<. ,  >.  _I  <. ,  >.  _V  \  R
72, 3, 63bitri 195 . 2  R  i^i  _I  (/)  <. , 
>.  _I  <. ,  >.  _V  \  R
8 equcom 1590 . . . . 5
9 vex 2554 . . . . . 6 
_V
109ideq 4431 . . . . 5  _I
11 df-br 3756 . . . . 5  _I  <. ,  >.  _I
128, 10, 113bitr2i 197 . . . 4  <. ,  >.  _I
13 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
1413, 9opex 3957 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V
1514biantrur 287 . . . . . 6 
<. ,  >.  R  <. ,  >.  _V  <. , 
>.  R
16 eldif 2921 . . . . . 6  <. ,  >.  _V  \  R  <. , 
>.  _V  <. ,  >.  R
1715, 16bitr4i 176 . . . . 5 
<. ,  >.  R  <. , 
>.  _V  \  R
18 df-br 3756 . . . . 5  R  <. ,  >.  R
1917, 18xchnxbir 605 . . . 4  R  <. ,  >.  _V  \  R
2012, 19imbi12i 228 . . 3  R  <. , 
>.  _I  <. ,  >.  _V  \  R
21202albii 1357 . 2  R  <. ,  >.  _I  <. , 
>.  _V  \  R
22 nfv 1418 . . . 4  F/  R
23 breq2 3759 . . . . 5  R  R
2423notbid 591 . . . 4  R  R
2522, 24equsal 1612 . . 3  R  R
2625albii 1356 . 2  R  R
277, 21, 263bitr2i 197 1  R  i^i  _I  (/)  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    \ cdif 2908    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755    _I cid 4016   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator