ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relfld Structured version   Unicode version

Theorem relfld 4789
Description: The double union of a relation is its field. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
relfld  Rel 
R  U. U. R  dom  R  u.  ran  R

Proof of Theorem relfld
StepHypRef Expression
1 relssdmrn 4784 . . . 4  Rel 
R  R  C_  dom  R  X.  ran  R
2 uniss 3592 . . . 4  R 
C_  dom  R  X.  ran  R  U. R  C_  U. dom  R  X.  ran  R
3 uniss 3592 . . . 4  U. R  C_  U. dom 
R  X.  ran  R  U. U. R  C_ 
U. U. dom  R  X.  ran  R
41, 2, 33syl 17 . . 3  Rel 
R  U. U. R  C_ 
U. U. dom  R  X.  ran  R
5 unixpss 4394 . . 3  U. U. dom  R  X.  ran  R  C_  dom  R  u.  ran  R
64, 5syl6ss 2951 . 2  Rel 
R  U. U. R  C_  dom  R  u.  ran  R
7 dmrnssfld 4538 . . 3  dom 
R  u.  ran  R  C_  U. U. R
87a1i 9 . 2  Rel 
R  dom  R  u.  ran  R 
C_  U. U. R
96, 8eqssd 2956 1  Rel 
R  U. U. R  dom  R  u.  ran  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wceq 1242    u. cun 2909    C_ wss 2911   U.cuni 3571    X. cxp 4286   dom cdm 4288   ran crn 4289   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by:  relresfld  4790  relcoi1  4792  unidmrn  4793  relcnvfld  4794  unixpm  4796
  Copyright terms: Public domain W3C validator