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Theorem relcoi1 4772
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1  Rel 
R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 4769 . . 3  Rel 
R  U. U. R  dom  R  u.  ran  R
2 resundi 4548 . . . . 5  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R
3 coeq2 4417 . . . . 5  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R
4 coundi 4745 . . . . . . 7  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R
5 resco 4748 . . . . . . . 8  R  o.  _I  |` 
dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R
6 coi1 4759 . . . . . . . . 9  Rel 
R  R  o.  _I  R
7 reseq1 4529 . . . . . . . . . 10  R  o.  _I  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R
8 resdm 4572 . . . . . . . . . . 11  Rel 
R  R  |` 
dom  R  R
9 eqtr 2035 . . . . . . . . . . . . . 14  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |` 
dom  R  R  |`  dom  R  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R
10 eqtr 2035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |` 
dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R
11 resco 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R
12 uneq1 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  R  o.  _I  |`  dom  R  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R
13 reseq1 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  R  o.  _I  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R
14 eqtr 2035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R
1514uneq2d 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  u.  R  |`  ran  R
16 eqtr 2035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R
17 resss 4558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  R  |`  ran  R  C_  R
18 ssequn2 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  R  |`  ran  R 
C_  R  R  u.  R  |`  ran  R  R
1917, 18mpbi 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  R  u.  R  |`  ran  R  R
206, 19syl6reqr 2069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  Rel 
R  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I
21 eqeq1 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I
2220, 21syl5ibr 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2316, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel 
R  R  o.  _I  |` 
dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2423ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2524com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2615, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2726ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2827eqcoms 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2928com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3013, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  R  o.  _I  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
316, 30mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Rel 
R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3231com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3311, 12, 32mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3410, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |` 
dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3534ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3635eqcoms 2021 . . . . . . . . . . . . . . 15  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3736com3l 75 . . . . . . . . . . . . . 14  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
389, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |` 
dom  R  R  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3938ex 108 . . . . . . . . . . . 12  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
4039com3l 75 . . . . . . . . . . 11  R  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
418, 40mpcom 32 . . . . . . . . . 10  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
427, 41syl5com 26 . . . . . . . . 9  R  o.  _I  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
436, 42mpcom 32 . . . . . . . 8  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
445, 43mpi 15 . . . . . . 7  Rel 
R  R  o.  _I  |` 
dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
454, 44syl5eq 2062 . . . . . 6  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
46 eqeq1 2024 . . . . . 6  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
4745, 46syl5ibr 145 . . . . 5  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I
482, 3, 47mp2b 8 . . . 4  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I
49 reseq2 4530 . . . . . 6  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  _I  |`  U. U. R  _I  |`  dom  R  u.  ran  R
5049coeq2d 4421 . . . . 5  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R
5150eqeq1d 2026 . . . 4  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I
5248, 51syl5ibr 145 . . 3  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I
531, 52mpcom 32 . 2  Rel 
R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I
5453, 6eqtrd 2050 1  Rel 
R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1226    u. cun 2888    C_ wss 2890   U.cuni 3550    _I cid 3995   dom cdm 4268   ran crn 4269    |` cres 4270    o. ccom 4272   Rel wrel 4273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280
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