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Theorem relcoi1 4792
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1  Rel 
R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 4789 . . 3  Rel 
R  U. U. R  dom  R  u.  ran  R
2 resundi 4568 . . . . 5  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R
3 coeq2 4437 . . . . 5  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R
4 coundi 4765 . . . . . . 7  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R
5 resco 4768 . . . . . . . 8  R  o.  _I  |` 
dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R
6 coi1 4779 . . . . . . . . 9  Rel 
R  R  o.  _I  R
7 reseq1 4549 . . . . . . . . . 10  R  o.  _I  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R
8 resdm 4592 . . . . . . . . . . 11  Rel 
R  R  |` 
dom  R  R
9 eqtr 2054 . . . . . . . . . . . . . 14  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |` 
dom  R  R  |`  dom  R  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R
10 eqtr 2054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |` 
dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R
11 resco 4768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R
12 uneq1 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  R  o.  _I  |`  dom  R  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R
13 reseq1 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  R  o.  _I  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R
14 eqtr 2054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R
1514uneq2d 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  u.  R  |`  ran  R
16 eqtr 2054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R
17 resss 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  R  |`  ran  R  C_  R
18 ssequn2 3110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  R  |`  ran  R 
C_  R  R  u.  R  |`  ran  R  R
1917, 18mpbi 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  R  u.  R  |`  ran  R  R
206, 19syl6reqr 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  Rel 
R  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I
21 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  R  u.  R  |`  ran  R  R  o.  _I
2220, 21syl5ibr 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2316, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel 
R  R  o.  _I  |` 
dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2423ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2524com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2615, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |` 
ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2726ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2827eqcoms 2040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
2928com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  R  o.  _I  |`  ran  R  R  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3013, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  R  o.  _I  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
316, 30mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Rel 
R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3231com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3311, 12, 32mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3410, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |` 
dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3534ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3635eqcoms 2040 . . . . . . . . . . . . . . 15  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3736com3l 75 . . . . . . . . . . . . . 14  R  o.  _I  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
389, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |` 
dom  R  R  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
3938ex 108 . . . . . . . . . . . 12  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
4039com3l 75 . . . . . . . . . . 11  R  |`  dom  R  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
418, 40mpcom 32 . . . . . . . . . 10  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
427, 41syl5com 26 . . . . . . . . 9  R  o.  _I  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
436, 42mpcom 32 . . . . . . . 8  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
445, 43mpi 15 . . . . . . 7  Rel 
R  R  o.  _I  |` 
dom  R  u.  R  o.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
454, 44syl5eq 2081 . . . . . 6  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
46 eqeq1 2043 . . . . . 6  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  R  o.  _I
4745, 46syl5ibr 145 . . . . 5  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  _I  |`  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I
482, 3, 47mp2b 8 . . . 4  Rel 
R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I
49 reseq2 4550 . . . . . 6  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  _I  |`  U. U. R  _I  |`  dom  R  u.  ran  R
5049coeq2d 4441 . . . . 5  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R
5150eqeq1d 2045 . . . 4  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I  R  o.  _I  |`  dom  R  u.  ran  R  R  o.  _I
5248, 51syl5ibr 145 . . 3  U. U. R  dom 
R  u.  ran  R  Rel  R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I
531, 52mpcom 32 . 2  Rel 
R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R  o.  _I
5453, 6eqtrd 2069 1  Rel 
R  R  o.  _I  |`  U. U. R  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242    u. cun 2909    C_ wss 2911   U.cuni 3571    _I cid 4016   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290    o. ccom 4292   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300
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