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Theorem relcoi1 4849

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 4846	. . 3
2		resundi 4625	. . . . 5
3		coeq2 4494	. . . . 5
4		coundi 4822	. . . . . . 7
5		resco 4825	. . . . . . . 8
6		coi1 4836	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4606	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4649	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 4825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	6, 19	syl6reqr 2091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2043	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 75	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 108	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 75	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 32	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 26	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 32	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	syl5eq 2084	. . . . . 6
46		eqeq1 2046	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 145	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4607	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4498	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2048	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 145	. . 3
53	1, 52	mpcom 32	. 2
54	53, 6	eqtrd 2072	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 97

wceq 1243

cun 2915

wss 2917

cuni 3580

cid 4025

cdm 4345

crn 4346

cres 4347

ccom 4349

wrel 4350

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-sep 3875 ax-pow 3927 ax-pr 3944

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-3an 887 df-tru 1246 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ral 2311 df-rex 2312 df-v 2559 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-br 3765 df-opab 3819 df-id 4030 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357

This theorem is referenced by: (None)

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