Theorem dmrnssfld 4595

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4533	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3476	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 3992	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 3993	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	syl5eqelr 2125	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3608	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 2944	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1489	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 114	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 2949	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4576	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3477	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 2944	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1489	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 114	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 2949	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3118	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1381   e. wcel 1393   u. cun 2915   C_ wss 2917   {cpr 3376   <.cop 3378   U.cuni 3580   dom cdm 4345   ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356

This theorem is referenced by:  dmexg  4596  rnexg  4597  relfld  4846  relcoi2  4848