Theorem relresfld 4847

Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
relresfld	|- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Proof of Theorem relresfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 4846	. . . 4 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )
2	1	reseq2d 4612	. . 3 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) )
3		resundi 4625	. . 3 |- ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) )
4		eqtr 2057	. . . 4 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) )
5		resss 4635	. . . . 5 |- ( R |` ran R ) C_ R
6		resdm 4649	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( R |` dom R ) = R )
7		ssequn2 3116	. . . . . 6 |- ( ( R |` ran R ) C_ R <-> ( R u. ( R |` ran R ) ) = R )
8		uneq1 3090	. . . . . . . . 9 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) )
9	8	eqeq2d 2051	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) <-> ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) ) )
10		eqtr 2057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) /\ ( R u. ( R |` ran R ) ) = R ) -> ( R |` U. U. R ) = R )
11	10	ex 108	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
12	9, 11	syl6bi 152	. . . . . . 7 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
13	12	com3r 73	. . . . . 6 |- ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
14	7, 13	sylbi 114	. . . . 5 |- ( ( R |` ran R ) C_ R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
15	5, 6, 14	mpsyl 59	. . . 4 |- ( Rel R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
16	4, 15	syl5com 26	. . 3 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
17	2, 3, 16	sylancl 392	. 2 |- ( Rel R -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
18	17	pm2.43i 43	1 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   u. cun 2915   C_ wss 2917   U.cuni 3580   dom cdm 4345   ran crn 4346   |` cres 4347   Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357

This theorem is referenced by: (None)