ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  asymref Structured version   GIF version

Theorem asymref 4653
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. 𝑅 is the field of a relation by relfld 4789. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
asymref ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y))
Distinct variable group:   x,y,𝑅

Proof of Theorem asymref
StepHypRef Expression
1 df-br 3756 . . . . . . . . . . 11 (x𝑅y ↔ ⟨x, y 𝑅)
2 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 x V
3 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 y V
42, 3opeluu 4148 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, y 𝑅 → (x 𝑅 y 𝑅))
51, 4sylbi 114 . . . . . . . . . 10 (x𝑅y → (x 𝑅 y 𝑅))
65simpld 105 . . . . . . . . 9 (x𝑅yx 𝑅)
76adantr 261 . . . . . . . 8 ((x𝑅y y𝑅x) → x 𝑅)
87pm4.71ri 372 . . . . . . 7 ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (x 𝑅 (x𝑅y y𝑅x)))
98bibi1i 217 . . . . . 6 (((x𝑅y y𝑅x) ↔ (x 𝑅 x = y)) ↔ ((x 𝑅 (x𝑅y y𝑅x)) ↔ (x 𝑅 x = y)))
10 elin 3120 . . . . . . . 8 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (⟨x, y 𝑅 x, y 𝑅))
112, 3brcnv 4461 . . . . . . . . . 10 (x𝑅yy𝑅x)
12 df-br 3756 . . . . . . . . . 10 (x𝑅y ↔ ⟨x, y 𝑅)
1311, 12bitr3i 175 . . . . . . . . 9 (y𝑅x ↔ ⟨x, y 𝑅)
141, 13anbi12i 433 . . . . . . . 8 ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (⟨x, y 𝑅 x, y 𝑅))
1510, 14bitr4i 176 . . . . . . 7 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (x𝑅y y𝑅x))
163opelres 4560 . . . . . . . 8 (⟨x, y ( I ↾ 𝑅) ↔ (⟨x, y I x 𝑅))
17 df-br 3756 . . . . . . . . . 10 (x I y ↔ ⟨x, y I )
183ideq 4431 . . . . . . . . . 10 (x I yx = y)
1917, 18bitr3i 175 . . . . . . . . 9 (⟨x, y I ↔ x = y)
2019anbi2ci 432 . . . . . . . 8 ((⟨x, y I x 𝑅) ↔ (x 𝑅 x = y))
2116, 20bitri 173 . . . . . . 7 (⟨x, y ( I ↾ 𝑅) ↔ (x 𝑅 x = y))
2215, 21bibi12i 218 . . . . . 6 ((⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (x 𝑅 x = y)))
23 pm5.32 426 . . . . . 6 ((x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)) ↔ ((x 𝑅 (x𝑅y y𝑅x)) ↔ (x 𝑅 x = y)))
249, 22, 233bitr4i 201 . . . . 5 ((⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ (x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
2524albii 1356 . . . 4 (y(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ y(x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
26 19.21v 1750 . . . 4 (y(x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)) ↔ (x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
2725, 26bitri 173 . . 3 (y(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ (x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
2827albii 1356 . 2 (xy(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ x(x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
29 relcnv 4646 . . . 4 Rel 𝑅
30 relin2 4399 . . . 4 (Rel 𝑅 → Rel (𝑅𝑅))
3129, 30ax-mp 7 . . 3 Rel (𝑅𝑅)
32 relres 4582 . . 3 Rel ( I ↾ 𝑅)
33 eqrel 4372 . . 3 ((Rel (𝑅𝑅) Rel ( I ↾ 𝑅)) → ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ xy(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅))))
3431, 32, 33mp2an 402 . 2 ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ xy(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)))
35 df-ral 2305 . 2 (x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y) ↔ x(x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
3628, 34, 353bitr4i 201 1 ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cin 2910  cop 3370   cuni 3571   class class class wbr 3755   I cid 4016  ccnv 4287  cres 4290  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-res 4300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator