Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  asymref Structured version   GIF version

Theorem asymref 4633
 Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. ∪ ∪ 𝑅 is the field of a relation by relfld 4769. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
asymref ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y))
Distinct variable group:   x,y,𝑅

Proof of Theorem asymref
StepHypRef Expression
1 df-br 3735 . . . . . . . . . . 11 (x𝑅y ↔ ⟨x, y 𝑅)
2 vex 2534 . . . . . . . . . . . 12 x V
3 vex 2534 . . . . . . . . . . . 12 y V
42, 3opeluu 4128 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, y 𝑅 → (x 𝑅 y 𝑅))
51, 4sylbi 114 . . . . . . . . . 10 (x𝑅y → (x 𝑅 y 𝑅))
65simpld 105 . . . . . . . . 9 (x𝑅yx 𝑅)
76adantr 261 . . . . . . . 8 ((x𝑅y y𝑅x) → x 𝑅)
87pm4.71ri 372 . . . . . . 7 ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (x 𝑅 (x𝑅y y𝑅x)))
98bibi1i 217 . . . . . 6 (((x𝑅y y𝑅x) ↔ (x 𝑅 x = y)) ↔ ((x 𝑅 (x𝑅y y𝑅x)) ↔ (x 𝑅 x = y)))
10 elin 3099 . . . . . . . 8 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (⟨x, y 𝑅 x, y 𝑅))
112, 3brcnv 4441 . . . . . . . . . 10 (x𝑅yy𝑅x)
12 df-br 3735 . . . . . . . . . 10 (x𝑅y ↔ ⟨x, y 𝑅)
1311, 12bitr3i 175 . . . . . . . . 9 (y𝑅x ↔ ⟨x, y 𝑅)
141, 13anbi12i 436 . . . . . . . 8 ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (⟨x, y 𝑅 x, y 𝑅))
1510, 14bitr4i 176 . . . . . . 7 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (x𝑅y y𝑅x))
163opelres 4540 . . . . . . . 8 (⟨x, y ( I ↾ 𝑅) ↔ (⟨x, y I x 𝑅))
17 df-br 3735 . . . . . . . . . 10 (x I y ↔ ⟨x, y I )
183ideq 4411 . . . . . . . . . 10 (x I yx = y)
1917, 18bitr3i 175 . . . . . . . . 9 (⟨x, y I ↔ x = y)
2019anbi2ci 435 . . . . . . . 8 ((⟨x, y I x 𝑅) ↔ (x 𝑅 x = y))
2116, 20bitri 173 . . . . . . 7 (⟨x, y ( I ↾ 𝑅) ↔ (x 𝑅 x = y))
2215, 21bibi12i 218 . . . . . 6 ((⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (x 𝑅 x = y)))
23 pm5.32 429 . . . . . 6 ((x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)) ↔ ((x 𝑅 (x𝑅y y𝑅x)) ↔ (x 𝑅 x = y)))
249, 22, 233bitr4i 201 . . . . 5 ((⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ (x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
2524albii 1335 . . . 4 (y(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ y(x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
26 19.21v 1731 . . . 4 (y(x 𝑅 → ((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)) ↔ (x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
2725, 26bitri 173 . . 3 (y(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ (x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
2827albii 1335 . 2 (xy(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)) ↔ x(x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
29 relcnv 4626 . . . 4 Rel 𝑅
30 relin2 4379 . . . 4 (Rel 𝑅 → Rel (𝑅𝑅))
3129, 30ax-mp 7 . . 3 Rel (𝑅𝑅)
32 relres 4562 . . 3 Rel ( I ↾ 𝑅)
33 eqrel 4352 . . 3 ((Rel (𝑅𝑅) Rel ( I ↾ 𝑅)) → ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ xy(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅))))
3431, 32, 33mp2an 404 . 2 ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ xy(⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ ⟨x, y ( I ↾ 𝑅)))
35 df-ral 2285 . 2 (x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y) ↔ x(x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y)))
3628, 34, 353bitr4i 201 1 ((𝑅𝑅) = ( I ↾ 𝑅) ↔ x 𝑅y((x𝑅y y𝑅x) ↔ x = y))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1224   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  ∀wral 2280   ∩ cin 2889  ⟨cop 3349  ∪ cuni 3550   class class class wbr 3734   I cid 3995  ◡ccnv 4267   ↾ cres 4270  Rel wrel 4273 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-res 4280 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator