Theorem opelres 4617

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4357	. . 3 |- ( C |` D ) = ( C i^i ( D X. _V ) )
2	1	eleq2i 2104	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) )
3		elin 3126	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) )
4		opelres.1	. . . 4 |- B e. _V
5		opelxp 4374	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> ( A e. D /\ B e. _V ) )
6	4, 5	mpbiran2 848	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> A e. D )
7	6	anbi2i 430	. 2 |- ( ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
8	2, 3, 7	3bitri 195	1 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   i^i cin 2916   <.cop 3378   X. cxp 4343   |` cres 4347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-res 4357

This theorem is referenced by:  brres  4618  opelresg  4619  opres  4621  dmres  4632  elres  4646  relssres  4648  resiexg  4653  iss  4654  asymref  4710  ssrnres  4763  cnvresima  4810  ressn  4858  funssres  4942  fcnvres  5073