ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archsr Unicode version

Theorem archsr 6708
Description: For any signed real, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". The expression  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  },  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R is the embedding of the positive integer into the signed reals. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
archsr  R.  N.  <R  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
Distinct variable group:   , l,,

Proof of Theorem archsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6655 . 2  R.  P.  X.  P. /.  ~R
2 breq1 3758 . . 3  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  <R  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <R 
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
32rexbidv 2321 . 2  <. ,  >. 
~R  N. 
<. ,  >. 
~R  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  N.  <R  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
4 1pr 6535 . . . . . . 7  1P  P.
5 addclpr 6520 . . . . . . 7  P.  1P  P.  +P.  1P  P.
64, 5mpan2 401 . . . . . 6  P.  +P.  1P 
P.
7 archpr 6615 . . . . . 6  +P.  1P  P.  N.  +P.  1P  <P  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.
86, 7syl 14 . . . . 5  P.  N.  +P.  1P  <P  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.
98adantr 261 . . . 4  P.  P.  N.  +P.  1P 
<P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.
10 nnprlu 6534 . . . . . . . . . 10  N.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.
1110adantl 262 . . . . . . . . 9  P.  P.  N.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.
12 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.  1P  P.  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.
1311, 4, 12sylancl 392 . . . . . . . 8  P.  P.  N.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  P.
14 simplr 482 . . . . . . . 8  P.  P.  N.  P.
15 ltaddpr 6571 . . . . . . . 8  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.
1613, 14, 15syl2anc 391 . . . . . . 7  P.  P.  N.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  +P.
17 addcomprg 6554 . . . . . . . 8  P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  +P.
1814, 13, 17syl2anc 391 . . . . . . 7  P.  P.  N.  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  +P.
1916, 18breqtrrd 3781 . . . . . 6  P.  P.  N.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
20 ltaddpr 6571 . . . . . . . 8 
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.  1P  P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P
2111, 4, 20sylancl 392 . . . . . . 7  P.  P.  N.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
22 ltsopr 6570 . . . . . . . . 9  <P  Or  P.
23 ltrelpr 6488 . . . . . . . . 9  <P  C_  P.  X.  P.
2422, 23sotri 4663 . . . . . . . 8  +P.  1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P 
<P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
2524expcom 109 . . . . . . 7  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P 
<P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P.  1P 
<P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
2621, 25syl 14 . . . . . 6  P.  P.  N. 
+P.  1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  <P  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
2722, 23sotri 4663 . . . . . . 7  +P.  1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  +P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
2827expcom 109 . . . . . 6 
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P 
+P.  1P  <P  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  +P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
2919, 26, 28sylsyld 52 . . . . 5  P.  P.  N. 
+P.  1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P
3029reximdva 2415 . . . 4  P.  P. 
N.  +P.  1P  <P  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  N.  +P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
319, 30mpd 13 . . 3  P.  P.  N.  +P.  1P 
<P  +P.  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
32 simpl 102 . . . . 5  P.  P.  N. 
P.  P.
334a1i 9 . . . . 5  P.  P.  N.  1P  P.
34 ltsrprg 6675 . . . . 5  P.  P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P  P.  1P  P.  <. ,  >.  ~R  <R  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R 
+P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P
3532, 13, 33, 34syl12anc 1132 . . . 4  P.  P.  N.  <. ,  >.  ~R  <R  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R 
+P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P
3635rexbidva 2317 . . 3  P.  P. 
N.  <. ,  >.  ~R  <R  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  N.  +P.  1P  <P  +P.  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
3731, 36mpbird 156 . 2  P.  P.  N. 
<. ,  >. 
~R  <R  <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
381, 3, 37ecoptocl 6129 1  R.  N.  <R  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   1oc1o 5933  cec 6040   N.cnpi 6256    ~Q ceq 6263    <Q cltq 6269   P.cnp 6275   1Pc1p 6276    +P. cpp 6277    <P cltp 6279    ~R cer 6280   R.cnr 6281    <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658
This theorem is referenced by:  axarch  6773
  Copyright terms: Public domain W3C validator