Theorem archpr 6615

Description: For any positive real, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". The integer x is embedded into the reals as described at nnprlu 6534. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archpr	|- (A e. P. -> E.x e. N. A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)

Distinct variable group:   A, l,u,x

Proof of Theorem archpr

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 6458	. . 3 |- (A e. P. -> <.( 1st ` A) , ( 2nd ` A) >. e. P.)
2		prmu 6461	. . 3 |- ( <.( 1st ` A) , ( 2nd ` A) >. e. P. -> E.z e. Q. z e. ( 2nd ` A))
3	1, 2	syl 14	. 2 |- (A e. P. -> E.z e. Q. z e. ( 2nd ` A))
4		archnqq 6400	. . . 4 |- (z e. Q. -> E.x e. N. z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q )
5	4	ad2antrl 459	. . 3 |- ((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) -> E.x e. N. z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q )
6		simprl 483	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) -> z e. Q.)
7	6	ad2antrr 457	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> z e. Q.)
8		simprr 484	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) -> z e. ( 2nd ` A))
9	8	ad2antrr 457	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> z e. ( 2nd ` A))
10		simpr 103	. . . . . . . 8 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q )
11		vex 2554	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
12		breq1 3758	. . . . . . . . 9 |- ( l = z -> ( l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q <-> z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ))
13		ltnqex 6531	. . . . . . . . . 10 |- { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } e. _V
14		gtnqex 6532	. . . . . . . . . 10 |- {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } e. _V
15	13, 14	op1st 5715	. . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.) = { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q }
16	11, 12, 15	elab2 2684	. . . . . . . 8 |- (z e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.) <-> z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q )
17	10, 16	sylibr 137	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> z e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))
18		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (w e. ( 2nd ` A) <-> z e. ( 2nd ` A)))
19		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (w e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.) <-> z e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)))
20	18, 19	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((w e. ( 2nd ` A) /\ w e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)) <-> (z e. ( 2nd ` A) /\ z e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))))
21	20	rspcev 2650	. . . . . . 7 |- ((z e. Q. /\ (z e. ( 2nd ` A) /\ z e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))) -> E.w e. Q. (w e. ( 2nd ` A) /\ w e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)))
22	7, 9, 17, 21	syl12anc 1132	. . . . . 6 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> E.w e. Q. (w e. ( 2nd ` A) /\ w e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)))
23		simplll 485	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> A e. P.)
24		nnprlu 6534	. . . . . . . 8 |- (x e. N. -> <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >. e. P.)
25	24	ad2antlr 458	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >. e. P.)
26		ltdfpr 6489	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >. e. P.) -> (A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >. <-> E.w e. Q. (w e. ( 2nd ` A) /\ w e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))))
27	23, 25, 26	syl2anc 391	. . . . . 6 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> (A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >. <-> E.w e. Q. (w e. ( 2nd ` A) /\ w e. ( 1st ` <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))))
28	22, 27	mpbird 156	. . . . 5 |- ((((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) /\ z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q ) -> A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)
29	28	ex 108	. . . 4 |- (((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) /\ x e. N.) -> (z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q -> A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))
30	29	reximdva 2415	. . 3 |- ((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) -> (E.x e. N. z <Q [ <.x , 1o >.] ~Q -> E.x e. N. A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.))
31	5, 30	mpd 13	. 2 |- ((A e. P. /\ (z e. Q. /\ z e. ( 2nd ` A))) -> E.x e. N. A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)
32	3, 31	rexlimddv 2431	1 |- (A e. P. -> E.x e. N. A <P <. { l | l <Q [ <.x , 1o >.] ~Q } , {u | [ <.x , 1o >.] ~Q <Q u } >.)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1390   {cab 2023  E.wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755   ` cfv 4845   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   1oc1o 5933  [cec 6040   N.cnpi 6256   ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264   <Q cltq 6269   P.cnp 6275   <P cltp 6279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449  df-iltp 6453

This theorem is referenced by:  archsr  6708