Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archpr Unicode version

Theorem archpr 6741
 Description: For any positive real, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". The integer is embedded into the reals as described at nnprlu 6651. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
archpr
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem archpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 6573 . . 3
2 prmu 6576 . . 3
31, 2syl 14 . 2
4 archnqq 6515 . . . 4
6 simprl 483 . . . . . . . 8
76ad2antrr 457 . . . . . . 7
8 simprr 484 . . . . . . . 8
98ad2antrr 457 . . . . . . 7
10 simpr 103 . . . . . . . 8
11 vex 2560 . . . . . . . . 9
12 breq1 3767 . . . . . . . . 9
13 ltnqex 6647 . . . . . . . . . 10
14 gtnqex 6648 . . . . . . . . . 10
1513, 14op1st 5773 . . . . . . . . 9
1611, 12, 15elab2 2690 . . . . . . . 8
1710, 16sylibr 137 . . . . . . 7
18 eleq1 2100 . . . . . . . . 9
19 eleq1 2100 . . . . . . . . 9
2018, 19anbi12d 442 . . . . . . . 8
2120rspcev 2656 . . . . . . 7
227, 9, 17, 21syl12anc 1133 . . . . . 6
23 simplll 485 . . . . . . 7
24 nnprlu 6651 . . . . . . . 8
2524ad2antlr 458 . . . . . . 7
26 ltdfpr 6604 . . . . . . 7
2723, 25, 26syl2anc 391 . . . . . 6
2822, 27mpbird 156 . . . . 5
2928ex 108 . . . 4
3029reximdva 2421 . . 3
315, 30mpd 13 . 2
323, 31rexlimddv 2437 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wcel 1393  cab 2026  wrex 2307  cop 3378   class class class wbr 3764  cfv 4902  c1st 5765  c2nd 5766  c1o 5994  cec 6104  cnpi 6370   ceq 6377  cnq 6378   cltq 6383  cnp 6389   cltp 6393 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564  df-iltp 6568 This theorem is referenced by:  archsr  6866
 Copyright terms: Public domain W3C validator