ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsub2 Structured version   GIF version

Theorem subsub2 6995
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub2 ((A B 𝐶 ℂ) → (A − (B𝐶)) = (A + (𝐶B)))

Proof of Theorem subsub2
StepHypRef Expression
1 subcl 6967 . . . . 5 ((B 𝐶 ℂ) → (B𝐶) ℂ)
213adant1 921 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (B𝐶) ℂ)
3 simp1 903 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → A ℂ)
4 simp3 905 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → 𝐶 ℂ)
5 simp2 904 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → B ℂ)
6 subcl 6967 . . . . 5 ((𝐶 B ℂ) → (𝐶B) ℂ)
74, 5, 6syl2anc 391 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (𝐶B) ℂ)
82, 3, 7add12d 6935 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → ((B𝐶) + (A + (𝐶B))) = (A + ((B𝐶) + (𝐶B))))
9 npncan2 6994 . . . . 5 ((B 𝐶 ℂ) → ((B𝐶) + (𝐶B)) = 0)
1093adant1 921 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → ((B𝐶) + (𝐶B)) = 0)
1110oveq2d 5471 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (A + ((B𝐶) + (𝐶B))) = (A + 0))
123addid1d 6919 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (A + 0) = A)
138, 11, 123eqtrd 2073 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((B𝐶) + (A + (𝐶B))) = A)
143, 7addcld 6804 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (A + (𝐶B)) ℂ)
15 subadd 6971 . . 3 ((A (B𝐶) (A + (𝐶B)) ℂ) → ((A − (B𝐶)) = (A + (𝐶B)) ↔ ((B𝐶) + (A + (𝐶B))) = A))
163, 2, 14, 15syl3anc 1134 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A − (B𝐶)) = (A + (𝐶B)) ↔ ((B𝐶) + (A + (𝐶B))) = A))
1713, 16mpbird 156 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A − (B𝐶)) = (A + (𝐶B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671   + caddc 6674  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941
This theorem is referenced by:  nncan  6996  subsub  6997  subsub3  6999  ppncan  7009  subadd4  7011  subsub2d  7107
  Copyright terms: Public domain W3C validator