ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.29uz GIF version

Theorem r19.29uz 9564
Description: A version of 19.29 1511 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.29uz ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz
StepHypRef Expression
1 rexuz3.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 8488 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32ex 108 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
4 pm3.2 126 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓)))
54a1i 9 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓))))
63, 5imim12d 68 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝜓 → (𝜑𝜓)))))
76ralimdv2 2389 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓))))
87impcom 116 . . . 4 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)))
9 ralim 2380 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
108, 9syl 14 . . 3 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1110reximdva 2421 . 2 (∀𝑘𝑍 𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1211imp 115 1 ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  wrex 2307  cfv 4902  cuz 8471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-pre-ltwlin 6995
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-neg 7183  df-z 8244  df-uz 8472
This theorem is referenced by:  climcaucn  9843
  Copyright terms: Public domain W3C validator