Theorem r19.29uz 9590

Description: A version of 19.29 1511 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	|- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( j, k)   M( k)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 8490	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	ex 108	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
4		pm3.2 126	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
6	3, 5	imim12d 68	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( ( k e. Z -> ph ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) ) )
7	6	ralimdv2 2389	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
8	7	impcom 116	. . . 4 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
9		ralim 2380	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
11	10	reximdva 2421	. 2 |- ( A. k e. Z ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
12	11	imp 115	1 |- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   ` cfv 4902   ZZ>=cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltwlin 6997

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  climcaucn  9870