ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitric Structured version   GIF version

Theorem pitric 6298
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitric ((A N B N) → (A <N B ↔ ¬ (A = B B <N A)))

Proof of Theorem pitric
StepHypRef Expression
1 pinn 6286 . . 3 (A NA 𝜔)
2 pinn 6286 . . 3 (B NB 𝜔)
3 nntri2 6005 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B ↔ ¬ (A = B B A)))
41, 2, 3syl2an 273 . 2 ((A N B N) → (A B ↔ ¬ (A = B B A)))
5 ltpiord 6296 . 2 ((A N B N) → (A <N BA B))
6 ltpiord 6296 . . . . 5 ((B N A N) → (B <N AB A))
76ancoms 255 . . . 4 ((A N B N) → (B <N AB A))
87orbi2d 703 . . 3 ((A N B N) → ((A = B B <N A) ↔ (A = B B A)))
98notbid 591 . 2 ((A N B N) → (¬ (A = B B <N A) ↔ ¬ (A = B B A)))
104, 5, 93bitr4d 209 1 ((A N B N) → (A <N B ↔ ¬ (A = B B <N A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  𝜔com 4255  Ncnpi 6249   <N clti 6252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-br 3755  df-opab 3809  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-ni 6281  df-lti 6284
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator