ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitri3or Structured version   GIF version

Theorem pitri3or 6176
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitri3or ((A N B N) → (A <N B A = B B <N A))

Proof of Theorem pitri3or
StepHypRef Expression
1 pinn 6163 . . 3 (A NA 𝜔)
2 pinn 6163 . . 3 (B NB 𝜔)
3 nntri3or 5983 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))
41, 2, 3syl2an 273 . 2 ((A N B N) → (A B A = B B A))
5 ltpiord 6173 . . 3 ((A N B N) → (A <N BA B))
6 biidd 161 . . 3 ((A N B N) → (A = BA = B))
7 ltpiord 6173 . . . 4 ((B N A N) → (B <N AB A))
87ancoms 255 . . 3 ((A N B N) → (B <N AB A))
95, 6, 83orbi123d 1189 . 2 ((A N B N) → ((A <N B A = B B <N A) ↔ (A B A = B B A)))
104, 9mpbird 156 1 ((A N B N) → (A <N B A = B B <N A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 870   = wceq 1226   wcel 1370   class class class wbr 3734  𝜔com 4236  Ncnpi 6126   <N clti 6129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-br 3735  df-opab 3789  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-ni 6158  df-lti 6161
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6249
  Copyright terms: Public domain W3C validator