Theorem nntri2 6073

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4266	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
2		eleq2 2101	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	1, 2	mtbii 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
4	3	con2i 557	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5		en2lp 4278	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	5	imnani 625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		ioran 669	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 394	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		nntri3or 6072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		3orass 888	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
11	9, 10	sylib 127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
12	11	orcomd 648	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	12	ord 643	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐵))
14	8, 13	impbid2 131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ωcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  nnaord  6082  nnmord  6090  pitric  6419