Theorem nntri2 6012

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ↔ ¬ (A = B ∨ B ∈ A)))

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4224	. . . . 5 ⊢ ¬ A ∈ A
2		eleq2 2098	. . . . 5 ⊢ (A = B → (A ∈ A ↔ A ∈ B))
3	1, 2	mtbii 598	. . . 4 ⊢ (A = B → ¬ A ∈ B)
4	3	con2i 557	. . 3 ⊢ (A ∈ B → ¬ A = B)
5		en2lp 4232	. . . 4 ⊢ ¬ (A ∈ B ∧ B ∈ A)
6	5	imnani 624	. . 3 ⊢ (A ∈ B → ¬ B ∈ A)
7		ioran 668	. . 3 ⊢ (¬ (A = B ∨ B ∈ A) ↔ (¬ A = B ∧ ¬ B ∈ A))
8	4, 6, 7	sylanbrc 394	. 2 ⊢ (A ∈ B → ¬ (A = B ∨ B ∈ A))
9		nntri3or 6011	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))
10		3orass 887	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A) ↔ (A ∈ B ∨ (A = B ∨ B ∈ A)))
11	9, 10	sylib 127	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ∨ (A = B ∨ B ∈ A)))
12	11	orcomd 647	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → ((A = B ∨ B ∈ A) ∨ A ∈ B))
13	12	ord 642	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (¬ (A = B ∨ B ∈ A) → A ∈ B))
14	8, 13	impbid2 131	1 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ↔ ¬ (A = B ∨ B ∈ A)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∨ w3o 883   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  𝜔com 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257

This theorem is referenced by:  nnaord  6018  nnmord  6026  pitric  6305