ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabrexex2 Structured version   GIF version

Theorem oprabrexex2 5699
Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabrexex2.1 A V
oprabrexex2.2 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} V
Assertion
Ref Expression
oprabrexex2 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ w A φ} V
Distinct variable group:   x,A,y,z,w
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z,w)

Proof of Theorem oprabrexex2
Dummy variable v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oprab 5459 . . 3 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ w A φ} = {vxyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ)}
2 rexcom4 2571 . . . . 5 (w A xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ xw A yz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ))
3 rexcom4 2571 . . . . . . 7 (w A yz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ yw A z(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ))
4 rexcom4 2571 . . . . . . . . 9 (w A z(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ zw A (v = ⟨⟨x, y⟩, z φ))
5 r19.42v 2461 . . . . . . . . . 10 (w A (v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ (v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ))
65exbii 1493 . . . . . . . . 9 (zw A (v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ z(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ))
74, 6bitri 173 . . . . . . . 8 (w A z(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ z(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ))
87exbii 1493 . . . . . . 7 (yw A z(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ yz(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ))
93, 8bitri 173 . . . . . 6 (w A yz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ yz(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ))
109exbii 1493 . . . . 5 (xw A yz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ) ↔ xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ))
112, 10bitr2i 174 . . . 4 (xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ) ↔ w A xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ))
1211abbii 2150 . . 3 {vxyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z w A φ)} = {vw A xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ)}
131, 12eqtri 2057 . 2 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ w A φ} = {vw A xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ)}
14 oprabrexex2.1 . . 3 A V
15 df-oprab 5459 . . . 4 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {vxyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ)}
16 oprabrexex2.2 . . . 4 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} V
1715, 16eqeltrri 2108 . . 3 {vxyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ)} V
1814, 17abrexex2 5693 . 2 {vw A xyz(v = ⟨⟨x, y⟩, z φ)} V
1913, 18eqeltri 2107 1 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ w A φ} V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  Vcvv 2551  cop 3370  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-oprab 5459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator