ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeliunxp Structured version   GIF version

Theorem opeliunxp 4337
Description: Membership in a union of cross products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A 𝐶 B))

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2 (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) → ⟨x, 𝐶 V)
2 vex 2554 . . 3 x V
3 elex 2560 . . . 4 (𝐶 B𝐶 V)
43adantl 262 . . 3 ((x A 𝐶 B) → 𝐶 V)
5 opexgOLD 3955 . . 3 ((x V 𝐶 V) → ⟨x, 𝐶 V)
62, 4, 5sylancr 393 . 2 ((x A 𝐶 B) → ⟨x, 𝐶 V)
7 df-rex 2306 . . . . . 6 (x A y ({x} × B) ↔ x(x A y ({x} × B)))
8 nfv 1418 . . . . . . 7 z(x A y ({x} × B))
9 nfs1v 1812 . . . . . . . 8 x[z / x]x A
10 nfcv 2175 . . . . . . . . . 10 x{z}
11 nfcsb1v 2876 . . . . . . . . . 10 xz / xB
1210, 11nfxp 4313 . . . . . . . . 9 x({z} × z / xB)
1312nfcri 2169 . . . . . . . 8 x y ({z} × z / xB)
149, 13nfan 1454 . . . . . . 7 x([z / x]x A y ({z} × z / xB))
15 sbequ12 1651 . . . . . . . 8 (x = z → (x A ↔ [z / x]x A))
16 sneq 3377 . . . . . . . . . 10 (x = z → {x} = {z})
17 csbeq1a 2854 . . . . . . . . . 10 (x = zB = z / xB)
1816, 17xpeq12d 4312 . . . . . . . . 9 (x = z → ({x} × B) = ({z} × z / xB))
1918eleq2d 2104 . . . . . . . 8 (x = z → (y ({x} × B) ↔ y ({z} × z / xB)))
2015, 19anbi12d 442 . . . . . . 7 (x = z → ((x A y ({x} × B)) ↔ ([z / x]x A y ({z} × z / xB))))
218, 14, 20cbvex 1636 . . . . . 6 (x(x A y ({x} × B)) ↔ z([z / x]x A y ({z} × z / xB)))
227, 21bitri 173 . . . . 5 (x A y ({x} × B) ↔ z([z / x]x A y ({z} × z / xB)))
23 eleq1 2097 . . . . . . 7 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (y ({z} × z / xB) ↔ ⟨x, 𝐶 ({z} × z / xB)))
2423anbi2d 437 . . . . . 6 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (([z / x]x A y ({z} × z / xB)) ↔ ([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
2524exbidv 1703 . . . . 5 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (z([z / x]x A y ({z} × z / xB)) ↔ z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
2622, 25syl5bb 181 . . . 4 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (x A y ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
27 df-iun 3649 . . . 4 x A ({x} × B) = {yx A y ({x} × B)}
2826, 27elab2g 2683 . . 3 (⟨x, 𝐶 V → (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
29 opelxp 4316 . . . . . . 7 (⟨x, 𝐶 ({z} × z / xB) ↔ (x {z} 𝐶 z / xB))
3029anbi2i 430 . . . . . 6 (([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ ([z / x]x A (x {z} 𝐶 z / xB)))
31 an12 495 . . . . . 6 (([z / x]x A (x {z} 𝐶 z / xB)) ↔ (x {z} ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
32 elsn 3381 . . . . . . . 8 (x {z} ↔ x = z)
33 equcom 1590 . . . . . . . 8 (x = zz = x)
3432, 33bitri 173 . . . . . . 7 (x {z} ↔ z = x)
3534anbi1i 431 . . . . . 6 ((x {z} ([z / x]x A 𝐶 z / xB)) ↔ (z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
3630, 31, 353bitri 195 . . . . 5 (([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ (z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
3736exbii 1493 . . . 4 (z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ z(z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
38 sbequ12r 1652 . . . . . 6 (z = x → ([z / x]x Ax A))
3917equcoms 1591 . . . . . . . 8 (z = xB = z / xB)
4039eqcomd 2042 . . . . . . 7 (z = xz / xB = B)
4140eleq2d 2104 . . . . . 6 (z = x → (𝐶 z / xB𝐶 B))
4238, 41anbi12d 442 . . . . 5 (z = x → (([z / x]x A 𝐶 z / xB) ↔ (x A 𝐶 B)))
432, 42ceqsexv 2587 . . . 4 (z(z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)) ↔ (x A 𝐶 B))
4437, 43bitri 173 . . 3 (z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ (x A 𝐶 B))
4528, 44syl6bb 185 . 2 (⟨x, 𝐶 V → (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A 𝐶 B)))
461, 6, 45pm5.21nii 619 1 (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A 𝐶 B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  [wsb 1642  wrex 2301  Vcvv 2551  csb 2846  {csn 3366  cop 3369   ciun 3647   × cxp 4285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-iun 3649  df-opab 3809  df-xp 4293
This theorem is referenced by:  eliunxp  4417  opeliunxp2  4418
  Copyright terms: Public domain W3C validator