Theorem opeliunxp 4338

Description: Membership in a union of cross products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
opeliunxp	⊢ (⟨x, 𝐶⟩ ∈ ∪ x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B))

Proof of Theorem opeliunxp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2560	. 2 ⊢ (⟨x, 𝐶⟩ ∈ ∪ x ∈ A ({x} × B) → ⟨x, 𝐶⟩ ∈ V)
2		vex 2554	. . 3 ⊢ x ∈ V
3		elex 2560	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ B → 𝐶 ∈ V)
4	3	adantl 262	. . 3 ⊢ ((x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B) → 𝐶 ∈ V)
5		opexgOLD 3956	. . 3 ⊢ ((x ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨x, 𝐶⟩ ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancr 393	. 2 ⊢ ((x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B) → ⟨x, 𝐶⟩ ∈ V)
7		df-rex 2306	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ({x} × B) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ ({x} × B)))
8		nfv 1418	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎz(x ∈ A ∧ y ∈ ({x} × B))
9		nfs1v 1812	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎx[z / x]x ∈ A
10		nfcv 2175	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎx{z}
11		nfcsb1v 2876	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎx⦋z / x⦌B
12	10, 11	nfxp 4314	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎx({z} × ⦋z / x⦌B)
13	12	nfcri 2169	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎx y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)
14	9, 13	nfan 1454	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎx([z / x]x ∈ A ∧ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B))
15		sbequ12 1651	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (x ∈ A ↔ [z / x]x ∈ A))
16		sneq 3378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → {x} = {z})
17		csbeq1a 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → B = ⦋z / x⦌B)
18	16, 17	xpeq12d 4313	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → ({x} × B) = ({z} × ⦋z / x⦌B))
19	18	eleq2d 2104	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (y ∈ ({x} × B) ↔ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)))
20	15, 19	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → ((x ∈ A ∧ y ∈ ({x} × B)) ↔ ([z / x]x ∈ A ∧ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B))))
21	8, 14, 20	cbvex 1636	. . . . . 6 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ ({x} × B)) ↔ ∃z([z / x]x ∈ A ∧ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)))
22	7, 21	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ({x} × B) ↔ ∃z([z / x]x ∈ A ∧ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)))
23		eleq1 2097	. . . . . . 7 ⊢ (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B) ↔ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)))
24	23	anbi2d 437	. . . . . 6 ⊢ (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (([z / x]x ∈ A ∧ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)) ↔ ([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B))))
25	24	exbidv 1703	. . . . 5 ⊢ (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (∃z([z / x]x ∈ A ∧ y ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)) ↔ ∃z([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B))))
26	22, 25	syl5bb 181	. . . 4 ⊢ (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (∃x ∈ A y ∈ ({x} × B) ↔ ∃z([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B))))
27		df-iun 3650	. . . 4 ⊢ ∪ x ∈ A ({x} × B) = {y ∣ ∃x ∈ A y ∈ ({x} × B)}
28	26, 27	elab2g 2683	. . 3 ⊢ (⟨x, 𝐶⟩ ∈ V → (⟨x, 𝐶⟩ ∈ ∪ x ∈ A ({x} × B) ↔ ∃z([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B))))
29		opelxp 4317	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B) ↔ (x ∈ {z} ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B))
30	29	anbi2i 430	. . . . . 6 ⊢ (([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)) ↔ ([z / x]x ∈ A ∧ (x ∈ {z} ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)))
31		an12 495	. . . . . 6 ⊢ (([z / x]x ∈ A ∧ (x ∈ {z} ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)) ↔ (x ∈ {z} ∧ ([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)))
32		elsn 3382	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ {z} ↔ x = z)
33		equcom 1590	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z ↔ z = x)
34	32, 33	bitri 173	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ {z} ↔ z = x)
35	34	anbi1i 431	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ {z} ∧ ([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)) ↔ (z = x ∧ ([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)))
36	30, 31, 35	3bitri 195	. . . . 5 ⊢ (([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)) ↔ (z = x ∧ ([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)))
37	36	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃z([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)) ↔ ∃z(z = x ∧ ([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)))
38		sbequ12r 1652	. . . . . 6 ⊢ (z = x → ([z / x]x ∈ A ↔ x ∈ A))
39	17	equcoms 1591	. . . . . . . 8 ⊢ (z = x → B = ⦋z / x⦌B)
40	39	eqcomd 2042	. . . . . . 7 ⊢ (z = x → ⦋z / x⦌B = B)
41	40	eleq2d 2104	. . . . . 6 ⊢ (z = x → (𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B ↔ 𝐶 ∈ B))
42	38, 41	anbi12d 442	. . . . 5 ⊢ (z = x → (([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B) ↔ (x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B)))
43	2, 42	ceqsexv 2587	. . . 4 ⊢ (∃z(z = x ∧ ([z / x]x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ ⦋z / x⦌B)) ↔ (x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B))
44	37, 43	bitri 173	. . 3 ⊢ (∃z([z / x]x ∈ A ∧ ⟨x, 𝐶⟩ ∈ ({z} × ⦋z / x⦌B)) ↔ (x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B))
45	28, 44	syl6bb 185	. 2 ⊢ (⟨x, 𝐶⟩ ∈ V → (⟨x, 𝐶⟩ ∈ ∪ x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B)))
46	1, 6, 45	pm5.21nii 619	1 ⊢ (⟨x, 𝐶⟩ ∈ ∪ x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ 𝐶 ∈ B))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  [wsb 1642  ∃wrex 2301  Vcvv 2551  ⦋csb 2846  {csn 3367  ⟨cop 3370  ∪ ciun 3648   × cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iun 3650  df-opab 3810  df-xp 4294

This theorem is referenced by:  eliunxp  4418  opeliunxp2  4419