ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeliunxp Structured version   GIF version

Theorem opeliunxp 4322
Description: Membership in a union of cross products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A 𝐶 B))

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2543 . 2 (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) → ⟨x, 𝐶 V)
2 vex 2538 . . 3 x V
3 elex 2543 . . . 4 (𝐶 B𝐶 V)
43adantl 262 . . 3 ((x A 𝐶 B) → 𝐶 V)
5 opexgOLD 3939 . . 3 ((x V 𝐶 V) → ⟨x, 𝐶 V)
62, 4, 5sylancr 395 . 2 ((x A 𝐶 B) → ⟨x, 𝐶 V)
7 df-rex 2290 . . . . . 6 (x A y ({x} × B) ↔ x(x A y ({x} × B)))
8 nfv 1402 . . . . . . 7 z(x A y ({x} × B))
9 nfs1v 1797 . . . . . . . 8 x[z / x]x A
10 nfcv 2160 . . . . . . . . . 10 x{z}
11 nfcsb1v 2859 . . . . . . . . . 10 xz / xB
1210, 11nfxp 4298 . . . . . . . . 9 x({z} × z / xB)
1312nfcri 2154 . . . . . . . 8 x y ({z} × z / xB)
149, 13nfan 1439 . . . . . . 7 x([z / x]x A y ({z} × z / xB))
15 sbequ12 1636 . . . . . . . 8 (x = z → (x A ↔ [z / x]x A))
16 sneq 3361 . . . . . . . . . 10 (x = z → {x} = {z})
17 csbeq1a 2837 . . . . . . . . . 10 (x = zB = z / xB)
1816, 17xpeq12d 4297 . . . . . . . . 9 (x = z → ({x} × B) = ({z} × z / xB))
1918eleq2d 2089 . . . . . . . 8 (x = z → (y ({x} × B) ↔ y ({z} × z / xB)))
2015, 19anbi12d 445 . . . . . . 7 (x = z → ((x A y ({x} × B)) ↔ ([z / x]x A y ({z} × z / xB))))
218, 14, 20cbvex 1621 . . . . . 6 (x(x A y ({x} × B)) ↔ z([z / x]x A y ({z} × z / xB)))
227, 21bitri 173 . . . . 5 (x A y ({x} × B) ↔ z([z / x]x A y ({z} × z / xB)))
23 eleq1 2082 . . . . . . 7 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (y ({z} × z / xB) ↔ ⟨x, 𝐶 ({z} × z / xB)))
2423anbi2d 440 . . . . . 6 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (([z / x]x A y ({z} × z / xB)) ↔ ([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
2524exbidv 1688 . . . . 5 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (z([z / x]x A y ({z} × z / xB)) ↔ z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
2622, 25syl5bb 181 . . . 4 (y = ⟨x, 𝐶⟩ → (x A y ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
27 df-iun 3633 . . . 4 x A ({x} × B) = {yx A y ({x} × B)}
2826, 27elab2g 2666 . . 3 (⟨x, 𝐶 V → (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB))))
29 opelxp 4301 . . . . . . 7 (⟨x, 𝐶 ({z} × z / xB) ↔ (x {z} 𝐶 z / xB))
3029anbi2i 433 . . . . . 6 (([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ ([z / x]x A (x {z} 𝐶 z / xB)))
31 an12 483 . . . . . 6 (([z / x]x A (x {z} 𝐶 z / xB)) ↔ (x {z} ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
32 elsn 3365 . . . . . . . 8 (x {z} ↔ x = z)
33 equcom 1575 . . . . . . . 8 (x = zz = x)
3432, 33bitri 173 . . . . . . 7 (x {z} ↔ z = x)
3534anbi1i 434 . . . . . 6 ((x {z} ([z / x]x A 𝐶 z / xB)) ↔ (z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
3630, 31, 353bitri 195 . . . . 5 (([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ (z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
3736exbii 1478 . . . 4 (z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ z(z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)))
38 sbequ12r 1637 . . . . . 6 (z = x → ([z / x]x Ax A))
3917equcoms 1576 . . . . . . . 8 (z = xB = z / xB)
4039eqcomd 2027 . . . . . . 7 (z = xz / xB = B)
4140eleq2d 2089 . . . . . 6 (z = x → (𝐶 z / xB𝐶 B))
4238, 41anbi12d 445 . . . . 5 (z = x → (([z / x]x A 𝐶 z / xB) ↔ (x A 𝐶 B)))
432, 42ceqsexv 2570 . . . 4 (z(z = x ([z / x]x A 𝐶 z / xB)) ↔ (x A 𝐶 B))
4437, 43bitri 173 . . 3 (z([z / x]x A x, 𝐶 ({z} × z / xB)) ↔ (x A 𝐶 B))
4528, 44syl6bb 185 . 2 (⟨x, 𝐶 V → (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A 𝐶 B)))
461, 6, 45pm5.21nii 607 1 (⟨x, 𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A 𝐶 B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  [wsb 1627  wrex 2285  Vcvv 2535  csb 2829  {csn 3350  cop 3353   ciun 3631   × cxp 4270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-iun 3633  df-opab 3793  df-xp 4278
This theorem is referenced by:  eliunxp  4402  opeliunxp2  4403
  Copyright terms: Public domain W3C validator