ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eliunxp Structured version   GIF version

Theorem eliunxp 4418
Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4305 for nonconstant B(x). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliunxp (𝐶 x A ({x} × B) ↔ xy(𝐶 = ⟨x, y (x A y B)))
Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y,𝐶
Allowed substitution hints:   A(x)   B(x)

Proof of Theorem eliunxp
StepHypRef Expression
1 relxp 4390 . . . . . 6 Rel ({x} × B)
21rgenw 2370 . . . . 5 x A Rel ({x} × B)
3 reliun 4401 . . . . 5 (Rel x A ({x} × B) ↔ x A Rel ({x} × B))
42, 3mpbir 134 . . . 4 Rel x A ({x} × B)
5 elrel 4385 . . . 4 ((Rel x A ({x} × B) 𝐶 x A ({x} × B)) → xy 𝐶 = ⟨x, y⟩)
64, 5mpan 400 . . 3 (𝐶 x A ({x} × B) → xy 𝐶 = ⟨x, y⟩)
76pm4.71ri 372 . 2 (𝐶 x A ({x} × B) ↔ (xy 𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)))
8 nfiu1 3678 . . . 4 x x A ({x} × B)
98nfel2 2187 . . 3 x 𝐶 x A ({x} × B)
10919.41 1573 . 2 (x(y 𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)) ↔ (xy 𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)))
11 19.41v 1779 . . . 4 (y(𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)) ↔ (y 𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)))
12 eleq1 2097 . . . . . . 7 (𝐶 = ⟨x, y⟩ → (𝐶 x A ({x} × B) ↔ ⟨x, y x A ({x} × B)))
13 opeliunxp 4338 . . . . . . 7 (⟨x, y x A ({x} × B) ↔ (x A y B))
1412, 13syl6bb 185 . . . . . 6 (𝐶 = ⟨x, y⟩ → (𝐶 x A ({x} × B) ↔ (x A y B)))
1514pm5.32i 427 . . . . 5 ((𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)) ↔ (𝐶 = ⟨x, y (x A y B)))
1615exbii 1493 . . . 4 (y(𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)) ↔ y(𝐶 = ⟨x, y (x A y B)))
1711, 16bitr3i 175 . . 3 ((y 𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)) ↔ y(𝐶 = ⟨x, y (x A y B)))
1817exbii 1493 . 2 (x(y 𝐶 = ⟨x, y 𝐶 x A ({x} × B)) ↔ xy(𝐶 = ⟨x, y (x A y B)))
197, 10, 183bitr2i 197 1 (𝐶 x A ({x} × B) ↔ xy(𝐶 = ⟨x, y (x A y B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  {csn 3367  cop 3370   ciun 3648   × cxp 4286  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iun 3650  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  raliunxp  4420  rexiunxp  4421  dfmpt3  4964  mpt2mptx  5537
  Copyright terms: Public domain W3C validator