ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeliunxp Unicode version

Theorem opeliunxp 4338
Description: Membership in a union of cross products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp  <. ,  C >.  U_  { }  X.  C

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2  <. ,  C >.  U_  { }  X.  <. ,  C >.  _V
2 vex 2554 . . 3 
_V
3 elex 2560 . . . 4  C  C  _V
43adantl 262 . . 3  C  C  _V
5 opexgOLD 3956 . . 3  _V  C  _V  <. ,  C >.  _V
62, 4, 5sylancr 393 . 2  C  <. ,  C >.  _V
7 df-rex 2306 . . . . . 6  { }  X.  { }  X.
8 nfv 1418 . . . . . . 7  F/  { }  X.
9 nfs1v 1812 . . . . . . . 8  F/
10 nfcv 2175 . . . . . . . . . 10  F/_ { }
11 nfcsb1v 2876 . . . . . . . . . 10  F/_ [_  ]_
1210, 11nfxp 4314 . . . . . . . . 9  F/_ { }  X.  [_  ]_
1312nfcri 2169 . . . . . . . 8  F/  { }  X.  [_  ]_
149, 13nfan 1454 . . . . . . 7  F/  { }  X.  [_  ]_
15 sbequ12 1651 . . . . . . . 8
16 sneq 3378 . . . . . . . . . 10  { }  { }
17 csbeq1a 2854 . . . . . . . . . 10  [_  ]_
1816, 17xpeq12d 4313 . . . . . . . . 9  { }  X.  { }  X.  [_  ]_
1918eleq2d 2104 . . . . . . . 8  { }  X.  { }  X.  [_  ]_
2015, 19anbi12d 442 . . . . . . 7  { }  X.  { }  X.  [_  ]_
218, 14, 20cbvex 1636 . . . . . 6  { }  X.  { }  X.  [_  ]_
227, 21bitri 173 . . . . 5  { }  X.  { }  X.  [_  ]_
23 eleq1 2097 . . . . . . 7  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_
2423anbi2d 437 . . . . . 6  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_
2524exbidv 1703 . . . . 5  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_
2622, 25syl5bb 181 . . . 4  <. ,  C >.  { }  X.  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_
27 df-iun 3650 . . . 4  U_  { }  X.  {  |  { }  X.  }
2826, 27elab2g 2683 . . 3  <. ,  C >.  _V  <. ,  C >.  U_  { }  X.  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_
29 opelxp 4317 . . . . . . 7  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  { }  C  [_  ]_
3029anbi2i 430 . . . . . 6  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  { }  C  [_  ]_
31 an12 495 . . . . . 6  { }  C 
[_  ]_  { }  C  [_  ]_
32 elsn 3382 . . . . . . . 8  { }
33 equcom 1590 . . . . . . . 8
3432, 33bitri 173 . . . . . . 7  { }
3534anbi1i 431 . . . . . 6  { }  C 
[_  ]_  C  [_  ]_
3630, 31, 353bitri 195 . . . . 5  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  C 
[_  ]_
3736exbii 1493 . . . 4  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  C  [_  ]_
38 sbequ12r 1652 . . . . . 6
3917equcoms 1591 . . . . . . . 8  [_  ]_
4039eqcomd 2042 . . . . . . 7  [_  ]_
4140eleq2d 2104 . . . . . 6  C  [_  ]_  C
4238, 41anbi12d 442 . . . . 5  C  [_  ]_  C
432, 42ceqsexv 2587 . . . 4  C  [_  ]_  C
4437, 43bitri 173 . . 3  <. ,  C >.  { }  X.  [_  ]_  C
4528, 44syl6bb 185 . 2  <. ,  C >.  _V  <. ,  C >.  U_  { }  X.  C
461, 6, 45pm5.21nii 619 1  <. ,  C >.  U_  { }  X.  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wsb 1642  wrex 2301   _Vcvv 2551   [_csb 2846   {csn 3367   <.cop 3370   U_ciun 3648    X. cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iun 3650  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  eliunxp  4418  opeliunxp2  4419
  Copyright terms: Public domain W3C validator