ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltletr Structured version   GIF version

Theorem ltletr 6864
Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < B B𝐶) → A < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 simprr 484 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → B𝐶)
2 simpl2 907 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → B ℝ)
3 simpl3 908 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → 𝐶 ℝ)
4 lenlt 6851 . . . . 5 ((B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
52, 3, 4syl2anc 391 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
61, 5mpbid 135 . . 3 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → ¬ 𝐶 < B)
7 simprl 483 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → A < B)
8 axltwlin 6844 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B)))
98adantr 261 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → (A < B → (A < 𝐶 𝐶 < B)))
107, 9mpd 13 . . 3 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → (A < 𝐶 𝐶 < B))
116, 10ecased 1238 . 2 (((A B 𝐶 ℝ) (A < B B𝐶)) → A < 𝐶)
1211ex 108 1 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < B B𝐶) → A < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6670   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltwlin 6756
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823
This theorem is referenced by:  ltletri  6881  ltletrd  7176  ltleadd  7196  nngt0  7680  nnrecgt0  7692  elnnnn0c  7963  elnnz1  8004  zltp1le  8034  uz3m2nn  8251  elfz1b  8682  elfzodifsumelfzo  8787  ssfzo12bi  8811
  Copyright terms: Public domain W3C validator