Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzodifsumelfzo Structured version   GIF version

Theorem elfzodifsumelfzo 8807
 Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo ((𝑀 (0...𝑁) 𝑁 (0...𝑃)) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 8723 . . 3 (𝑀 (0...𝑁) ↔ (𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁))
2 elfz2nn0 8723 . . . . 5 (𝑁 (0...𝑃) ↔ (𝑁 0 𝑃 0 𝑁𝑃))
3 elfzo0 8788 . . . . . . . 8 (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐼 0 (𝑁𝑀) 𝐼 < (𝑁𝑀)))
4 nn0z 8021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 0𝑀 ℤ)
5 nn0z 8021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 0𝑁 ℤ)
6 znnsub 8052 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ℕ))
74, 5, 6syl2an 273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ℕ))
8 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0) → 𝐼 0)
9 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 0)
10 nn0addcl 7973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 0 𝑀 0) → (𝐼 + 𝑀) 0)
118, 9, 10syl2anr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) → (𝐼 + 𝑀) 0)
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) (𝑃 0 𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) 0)
13 0red 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 0 𝑁 0) → 0 ℝ)
14 nn0re 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 0𝑀 ℝ)
1514adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 0 𝑁 0) → 𝑀 ℝ)
16 nn0re 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 0𝑁 ℝ)
1716adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 0 𝑁 0) → 𝑁 ℝ)
1813, 15, 173jca 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 0 𝑁 0) → (0 𝑀 𝑁 ℝ))
1918adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → (0 𝑀 𝑁 ℝ))
20 nn0ge0 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 0 𝑁 0) → 0 ≤ 𝑀)
2221anim1i 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 𝑀 < 𝑁))
23 lelttr 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 𝑀 𝑁 ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2419, 22, 23sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2524ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26 0red 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 0 𝑁 0) → 0 ℝ)
2716adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 0 𝑁 0) → 𝑁 ℝ)
28 nn0re 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 0𝑃 ℝ)
2928adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 0 𝑁 0) → 𝑃 ℝ)
30 ltletr 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 𝑁 𝑃 ℝ) → ((0 < 𝑁 𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 0 𝑁 0) → ((0 < 𝑁 𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
32 nn0z 8021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 0𝑃 ℤ)
33 elnnz 8011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ℕ ↔ (𝑃 0 < 𝑃))
3433simplbi2 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ℤ → (0 < 𝑃𝑃 ℕ))
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 0 → (0 < 𝑃𝑃 ℕ))
3635adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 0 𝑁 0) → (0 < 𝑃𝑃 ℕ))
3731, 36syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 0 𝑁 0) → ((0 < 𝑁 𝑁𝑃) → 𝑃 ℕ))
3837exp4b 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 0 → (𝑁 0 → (0 < 𝑁 → (𝑁𝑃𝑃 ℕ))))
3938com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 0 → (𝑁𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 0𝑃 ℕ))))
4039imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 0𝑃 ℕ)))
4140com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → 𝑃 ℕ)))
4241adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 0 𝑁 0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → 𝑃 ℕ)))
4325, 42syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → 𝑃 ℕ)))
4443imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → 𝑃 ℕ))
4544adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → 𝑃 ℕ))
4645imp 115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) (𝑃 0 𝑁𝑃)) → 𝑃 ℕ)
47 nn0re 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 0𝐼 ℝ)
4847adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0) → 𝐼 ℝ)
4915adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ℝ)
50 readdcl 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 𝑀 ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ℝ)
5148, 49, 50syl2anr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) → (𝐼 + 𝑀) ℝ)
5251adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) → (𝐼 + 𝑀) ℝ)
5317adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ℝ)
5453adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) → 𝑁 ℝ)
5554adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) → 𝑁 ℝ)
5628adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) → 𝑃 ℝ)
5752, 55, 563jca 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) → ((𝐼 + 𝑀) 𝑁 𝑃 ℝ))
5857adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) 𝑁 𝑃 ℝ))
5947adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝐼 0) → 𝐼 ℝ)
6015adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝐼 0) → 𝑀 ℝ)
6117adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝐼 0) → 𝑁 ℝ)
6259, 60, 61ltaddsubd 7311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝐼 0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝐼 < (𝑁𝑀)))
6362exbiri 364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝐼 0 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6463com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6564impd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 0 𝑁 0) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6665adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6766imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6867adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6968anim1i 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 𝑁𝑃))
70 ltletr 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 + 𝑀) 𝑁 𝑃 ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7158, 69, 70sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) 𝑃 0) 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
7271anasss 379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) (𝑃 0 𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73 elfzo0 8788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) 0 𝑃 (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1087 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 0 𝑁 0) 𝑀 < 𝑁) (𝐼 < (𝑁𝑀) 𝐼 0)) (𝑃 0 𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))
7574exp53 359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 0 → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))))
767, 75sylbird 159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑁 0) → ((𝑁𝑀) ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 0 → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))))
77763adant3 923 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → ((𝑁𝑀) ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 0 → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))))
7877com14 82 . . . . . . . . 9 (𝐼 0 → ((𝑁𝑀) ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))))
79783imp 1097 . . . . . . . 8 ((𝐼 0 (𝑁𝑀) 𝐼 < (𝑁𝑀)) → ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
803, 79sylbi 114 . . . . . . 7 (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → ((𝑃 0 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
8180com13 74 . . . . . 6 ((𝑃 0 𝑁𝑃) → ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
82813adant1 921 . . . . 5 ((𝑁 0 𝑃 0 𝑁𝑃) → ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
832, 82sylbi 114 . . . 4 (𝑁 (0...𝑃) → ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
8483com12 27 . . 3 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝑁 (0...𝑃) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
851, 84sylbi 114 . 2 (𝑀 (0...𝑁) → (𝑁 (0...𝑃) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃))))
8685imp 115 1 ((𝑀 (0...𝑁) 𝑁 (0...𝑃)) → (𝐼 (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) (0..^𝑃)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  0cc0 6691   + caddc 6694   < clt 6837   ≤ cle 6838   − cmin 6959  ℕcn 7675  ℕ0cn0 7937  ℤcz 8001  ...cfz 8624  ..^cfzo 8749 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625  df-fzo 8750 This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  8808
 Copyright terms: Public domain W3C validator