ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooneg Structured version   GIF version

Theorem iooneg 8586
Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iooneg ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A(,)B) ↔ -𝐶 (-B(,)-A)))

Proof of Theorem iooneg
StepHypRef Expression
1 ltneg 7212 . . . . 5 ((A 𝐶 ℝ) → (A < 𝐶 ↔ -𝐶 < -A))
213adant2 922 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < 𝐶 ↔ -𝐶 < -A))
3 ltneg 7212 . . . . . 6 ((𝐶 B ℝ) → (𝐶 < B ↔ -B < -𝐶))
43ancoms 255 . . . . 5 ((B 𝐶 ℝ) → (𝐶 < B ↔ -B < -𝐶))
543adant1 921 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 < B ↔ -B < -𝐶))
62, 5anbi12d 442 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < 𝐶 𝐶 < B) ↔ (-𝐶 < -A -B < -𝐶)))
7 ancom 253 . . 3 ((-𝐶 < -A -B < -𝐶) ↔ (-B < -𝐶 -𝐶 < -A))
86, 7syl6bb 185 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A < 𝐶 𝐶 < B) ↔ (-B < -𝐶 -𝐶 < -A)))
9 rexr 6828 . . 3 (A ℝ → A *)
10 rexr 6828 . . 3 (B ℝ → B *)
11 rexr 6828 . . 3 (𝐶 ℝ → 𝐶 *)
12 elioo5 8532 . . 3 ((A * B * 𝐶 *) → (𝐶 (A(,)B) ↔ (A < 𝐶 𝐶 < B)))
139, 10, 11, 12syl3an 1176 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A(,)B) ↔ (A < 𝐶 𝐶 < B)))
14 renegcl 7028 . . . 4 (B ℝ → -B ℝ)
15 renegcl 7028 . . . 4 (A ℝ → -A ℝ)
16 renegcl 7028 . . . 4 (𝐶 ℝ → -𝐶 ℝ)
17 rexr 6828 . . . . 5 (-B ℝ → -B *)
18 rexr 6828 . . . . 5 (-A ℝ → -A *)
19 rexr 6828 . . . . 5 (-𝐶 ℝ → -𝐶 *)
20 elioo5 8532 . . . . 5 ((-B * -A * -𝐶 *) → (-𝐶 (-B(,)-A) ↔ (-B < -𝐶 -𝐶 < -A)))
2117, 18, 19, 20syl3an 1176 . . . 4 ((-B -A -𝐶 ℝ) → (-𝐶 (-B(,)-A) ↔ (-B < -𝐶 -𝐶 < -A)))
2214, 15, 16, 21syl3an 1176 . . 3 ((B A 𝐶 ℝ) → (-𝐶 (-B(,)-A) ↔ (-B < -𝐶 -𝐶 < -A)))
23223com12 1107 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (-𝐶 (-B(,)-A) ↔ (-B < -𝐶 -𝐶 < -A)))
248, 13, 233bitr4d 209 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A(,)B) ↔ -𝐶 (-B(,)-A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  *cxr 6816   < clt 6817  -cneg 6940  (,)cioo 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-ioo 8491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator