Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccid Structured version   GIF version

Theorem iccid 8564
 Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccid (A * → (A[,]A) = {A})

Proof of Theorem iccid
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc1 8563 . . . 4 ((A * A *) → (x (A[,]A) ↔ (x * Ax xA)))
21anidms 377 . . 3 (A * → (x (A[,]A) ↔ (x * Ax xA)))
3 xrlenlt 6881 . . . . . . . 8 ((A * x *) → (Ax ↔ ¬ x < A))
4 xrlenlt 6881 . . . . . . . . . . 11 ((x * A *) → (xA ↔ ¬ A < x))
54ancoms 255 . . . . . . . . . 10 ((A * x *) → (xA ↔ ¬ A < x))
6 xrlttri3 8488 . . . . . . . . . . . . 13 ((x * A *) → (x = A ↔ (¬ x < A ¬ A < x)))
76biimprd 147 . . . . . . . . . . . 12 ((x * A *) → ((¬ x < A ¬ A < x) → x = A))
87ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 ((A * x *) → ((¬ x < A ¬ A < x) → x = A))
98expcomd 1327 . . . . . . . . . 10 ((A * x *) → (¬ A < x → (¬ x < Ax = A)))
105, 9sylbid 139 . . . . . . . . 9 ((A * x *) → (xA → (¬ x < Ax = A)))
1110com23 72 . . . . . . . 8 ((A * x *) → (¬ x < A → (xAx = A)))
123, 11sylbid 139 . . . . . . 7 ((A * x *) → (Ax → (xAx = A)))
1312ex 108 . . . . . 6 (A * → (x * → (Ax → (xAx = A))))
14133impd 1117 . . . . 5 (A * → ((x * Ax xA) → x = A))
15 eleq1a 2106 . . . . . 6 (A * → (x = Ax *))
16 xrleid 8490 . . . . . . 7 (A *AA)
17 breq2 3759 . . . . . . 7 (x = A → (AxAA))
1816, 17syl5ibrcom 146 . . . . . 6 (A * → (x = AAx))
19 breq1 3758 . . . . . . 7 (x = A → (xAAA))
2016, 19syl5ibrcom 146 . . . . . 6 (A * → (x = AxA))
2115, 18, 203jcad 1084 . . . . 5 (A * → (x = A → (x * Ax xA)))
2214, 21impbid 120 . . . 4 (A * → ((x * Ax xA) ↔ x = A))
23 elsn 3382 . . . 4 (x {A} ↔ x = A)
2422, 23syl6bbr 187 . . 3 (A * → ((x * Ax xA) ↔ x {A}))
252, 24bitrd 177 . 2 (A * → (x (A[,]A) ↔ x {A}))
2625eqrdv 2035 1 (A * → (A[,]A) = {A})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {csn 3367   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝ*cxr 6856   < clt 6857   ≤ cle 6858  [,]cicc 8530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-icc 8534 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator