ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icc0r Structured version   GIF version

Theorem icc0r 8545
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
icc0r ((A * B *) → (B < A → (A[,]B) = ∅))

Proof of Theorem icc0r
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrletr 8474 . . . . . . 7 ((A * x * B *) → ((Ax xB) → AB))
213com23 1109 . . . . . 6 ((A * B * x *) → ((Ax xB) → AB))
323expa 1103 . . . . 5 (((A * B *) x *) → ((Ax xB) → AB))
43rexlimdva 2427 . . . 4 ((A * B *) → (x * (Ax xB) → AB))
5 xrlenlt 6861 . . . 4 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
64, 5sylibd 138 . . 3 ((A * B *) → (x * (Ax xB) → ¬ B < A))
76con2d 554 . 2 ((A * B *) → (B < A → ¬ x * (Ax xB)))
8 iccval 8539 . . . 4 ((A * B *) → (A[,]B) = {x * ∣ (Ax xB)})
98eqeq1d 2045 . . 3 ((A * B *) → ((A[,]B) = ∅ ↔ {x * ∣ (Ax xB)} = ∅))
10 rabeq0 3241 . . . 4 ({x * ∣ (Ax xB)} = ∅ ↔ x * ¬ (Ax xB))
11 ralnex 2310 . . . 4 (x * ¬ (Ax xB) ↔ ¬ x * (Ax xB))
1210, 11bitri 173 . . 3 ({x * ∣ (Ax xB)} = ∅ ↔ ¬ x * (Ax xB))
139, 12syl6bb 185 . 2 ((A * B *) → ((A[,]B) = ∅ ↔ ¬ x * (Ax xB)))
147, 13sylibrd 158 1 ((A * B *) → (B < A → (A[,]B) = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  {crab 2304  c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  *cxr 6836   < clt 6837  cle 6838  [,]cicc 8510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-icc 8514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator