ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Unicode version

Theorem uzin 8281
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  M  ZZ  N  ZZ  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>=
`  if M  <_  N ,  N ,  M

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 8270 . 2  M  ZZ  N  ZZ  N 
ZZ>= `  M  M  ZZ>= `  N
2 uzss 8269 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  N  C_  ZZ>= `  M
3 sseqin2 3150 . . . . 5 
ZZ>= `  N  C_  ZZ>= `  M  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>= `  N
42, 3sylib 127 . . . 4  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  N
5 eluzle 8261 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M  <_  N
6 iftrue 3330 . . . . . 6  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  N
75, 6syl 14 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  if M  <_  N ,  N ,  M  N
87fveq2d 5125 . . . 4  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M  ZZ>= `  N
94, 8eqtr4d 2072 . . 3  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M
10 uzss 8269 . . . . 5  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  C_  ZZ>= `  N
11 df-ss 2925 . . . . 5 
ZZ>= `  M  C_  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M
1210, 11sylib 127 . . . 4  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  M
13 eluzel2 8254 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ>= `  N  N  ZZ
14 eluzelz 8258 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ>= `  N  M  ZZ
15 zre 8025 . . . . . . . . . . . 12  N  ZZ  N  RR
16 zre 8025 . . . . . . . . . . . 12  M  ZZ  M  RR
17 letri3 6896 . . . . . . . . . . . 12  N  RR  M  RR  N  M  N  <_  M  M  <_  N
1815, 16, 17syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  N  ZZ  M  ZZ  N  M  N  <_  M  M  <_  N
1913, 14, 18syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  M  ZZ>= `  N  N  M  N  <_  M  M  <_  N
20 eluzle 8261 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ>= `  N  N  <_  M
2120biantrurd 289 . . . . . . . . . 10  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  N  <_  M  M  <_  N
2219, 21bitr4d 180 . . . . . . . . 9  M  ZZ>= `  N  N  M  M  <_  N
2322biimprcd 149 . . . . . . . 8  M  <_  N  M  ZZ>= `  N  N  M
246eqeq1d 2045 . . . . . . . 8  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M  N  M
2523, 24sylibrd 158 . . . . . . 7  M  <_  N  M  ZZ>= `  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
2625com12 27 . . . . . 6  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
27 iffalse 3333 . . . . . . 7  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
2827a1i 9 . . . . . 6  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
29 zdcle 8093 . . . . . . . 8  M  ZZ  N  ZZ DECID  M  <_  N
3014, 13, 29syl2anc 391 . . . . . . 7  M  ZZ>= `  N DECID  M  <_  N
31 df-dc 742 . . . . . . 7 DECID  M  <_  N  M  <_  N  M  <_  N
3230, 31sylib 127 . . . . . 6  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  M  <_  N
3326, 28, 32mpjaod 637 . . . . 5  M  ZZ>= `  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
3433fveq2d 5125 . . . 4  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M  ZZ>= `  M
3512, 34eqtr4d 2072 . . 3  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M
369, 35jaoi 635 . 2  N  ZZ>= `  M  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M
371, 36syl 14 1  M  ZZ  N  ZZ  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>=
`  if M  <_  N ,  N ,  M
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  DECID wdc 741   wceq 1242   wcel 1390    i^i cin 2910    C_ wss 2911   ifcif 3325   class class class wbr 3755   ` cfv 4845   RRcr 6710    <_ cle 6858   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator