ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version

Theorem uzin 8373
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  M  ZZ  N  ZZ  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>=
`  if M  <_  N ,  N ,  M

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 8362 . 2  M  ZZ  N  ZZ  N 
ZZ>= `  M  M  ZZ>= `  N
2 uzss 8361 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  N  C_  ZZ>= `  M
3 sseqin2 3153 . . . . 5 
ZZ>= `  N  C_  ZZ>= `  M  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>= `  N
42, 3sylib 127 . . . 4  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  N
5 eluzle 8353 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M  <_  N
6 iftrue 3333 . . . . . 6  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  N
75, 6syl 14 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  if M  <_  N ,  N ,  M  N
87fveq2d 5128 . . . 4  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M  ZZ>= `  N
94, 8eqtr4d 2075 . . 3  N  ZZ>= `  M  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M
10 uzss 8361 . . . . 5  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  C_  ZZ>= `  N
11 df-ss 2928 . . . . 5 
ZZ>= `  M  C_  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M
1210, 11sylib 127 . . . 4  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  M
13 eluzel2 8346 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ>= `  N  N  ZZ
14 eluzelz 8350 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ>= `  N  M  ZZ
15 zre 8117 . . . . . . . . . . . 12  N  ZZ  N  RR
16 zre 8117 . . . . . . . . . . . 12  M  ZZ  M  RR
17 letri3 6988 . . . . . . . . . . . 12  N  RR  M  RR  N  M  N  <_  M  M  <_  N
1815, 16, 17syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  N  ZZ  M  ZZ  N  M  N  <_  M  M  <_  N
1913, 14, 18syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  M  ZZ>= `  N  N  M  N  <_  M  M  <_  N
20 eluzle 8353 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ>= `  N  N  <_  M
2120biantrurd 289 . . . . . . . . . 10  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  N  <_  M  M  <_  N
2219, 21bitr4d 180 . . . . . . . . 9  M  ZZ>= `  N  N  M  M  <_  N
2322biimprcd 149 . . . . . . . 8  M  <_  N  M  ZZ>= `  N  N  M
246eqeq1d 2048 . . . . . . . 8  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M  N  M
2523, 24sylibrd 158 . . . . . . 7  M  <_  N  M  ZZ>= `  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
2625com12 27 . . . . . 6  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
27 iffalse 3336 . . . . . . 7  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
2827a1i 9 . . . . . 6  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
29 zdcle 8185 . . . . . . . 8  M  ZZ  N  ZZ DECID  M  <_  N
3014, 13, 29syl2anc 391 . . . . . . 7  M  ZZ>= `  N DECID  M  <_  N
31 df-dc 743 . . . . . . 7 DECID  M  <_  N  M  <_  N  M  <_  N
3230, 31sylib 127 . . . . . 6  M  ZZ>= `  N  M  <_  N  M  <_  N
3326, 28, 32mpjaod 638 . . . . 5  M  ZZ>= `  N  if M  <_  N ,  N ,  M  M
3433fveq2d 5128 . . . 4  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M  ZZ>= `  M
3512, 34eqtr4d 2075 . . 3  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M
369, 35jaoi 636 . 2  N  ZZ>= `  M  M  ZZ>= `  N  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  if M  <_  N ,  N ,  M
371, 36syl 14 1  M  ZZ  N  ZZ  ZZ>= `  M  i^i  ZZ>= `  N  ZZ>=
`  if M  <_  N ,  N ,  M
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 629  DECID wdc 742   wceq 1243   wcel 1393    i^i cin 2913    C_ wss 2914   ifcif 3328   class class class wbr 3758   ` cfv 4848   RRcr 6778    <_ cle 6950   ZZcz 8113   ZZ>=cuz 8341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-addcom 6874  ax-addass 6876  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-apti 6889  ax-pre-ltadd 6890
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-if 3329  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-enq0 6412  df-nq0 6413  df-0nq0 6414  df-plq0 6415  df-mq0 6416  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-iplp 6456  df-iltp 6458  df-enr 6701  df-nr 6702  df-ltr 6705  df-0r 6706  df-1r 6707  df-0 6786  df-1 6787  df-r 6789  df-lt 6792  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-xr 6953  df-ltxr 6954  df-le 6955  df-sub 7073  df-neg 7074  df-inn 7788  df-n0 8050  df-z 8114  df-uz 8342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator